Calcule a integral

∫ 0 2 3 x 3 16 - x 2 d x

Passo 1

Opa, bora pra mais uma integral?!

∫ 0 2 3 x 3 16 - x 2 d x

Estas integrais são trabalhosas e você sempre vai precisar pensar, mas com MUITA prática você consegue e vai ver que vai conseguir pensar nas substituições só de bater o olho na integral. Agora chega de papinho e vamos la.

Sugiro o seguinte, vamos dizer que:

x = 4 sin ⁡ θ

Se diferenciarmos, ficamos com:

d x = 4 cos ⁡ θ d θ

Tudo beleza?! Então vamos calcular os novos limites de integração:

θ i n f e r i o r :   4 sin ⁡ θ = 0   ∴   θ = 0

θ s u p e r i o r :   4 sin ⁡ θ = 2 3 ∴ θ = π 3

Então agora vamos substituir isto na nossa integral

∫ 0 2 3 x 3 16 - x 2 d x = ∫ 0 π 3 4 3 sin 3 ⁡ θ 16 - 16 sin 2 ⁡ θ 4 cos ⁡ θ d θ = 4 3 ∫ 0 π 3 4 sin 3 ⁡ θ cos ⁡ θ 16 1 - sin 2 ⁡ θ d θ = 4 3 ∫ 0 π 3 4 sin 3 ⁡ θ cos ⁡ θ 16 cos 2 ⁡ ( θ ) d θ = 4 3 ∫ 0 π 3 4 sin 3 ⁡ θ cos ⁡ θ 4 c o s ⁡ ( θ ) d θ = 4 3 ∫ 0 π 3 4 sin 3 ⁡ θ cos ⁡ θ 4 c o s ⁡ ( θ ) d θ = 4 3 ∫ 0 π 3 sin 3 ⁡ ( θ ) d θ = 4 3 ∫ 0 π 3 sin 2 ⁡ ( θ ) s i n ⁡ ( θ ) d θ = 4 3 ∫ 0 π 3 1 - cos 2 ⁡ θ sin ⁡ θ d θ

Passo 2

Então agora vamos substituir na nossa integral

∫ 0 2 3 x 3 16 - x 2 d x = ∫ 0 π 3 4 3 sin 3 ⁡ θ 16 - 16 sin 2 ⁡ θ 4 cos ⁡ θ d θ

= 4 3 ∫ 0 π 3 4 sin 3 ⁡ θ cos ⁡ θ 16 1 - sin 2 ⁡ θ d θ = 4 3 ∫ 0 π 3 4 sin 3 ⁡ θ cos ⁡ θ 16 cos 2 ⁡ θ d θ

4 3 ∫ 0 π 3 4 sin 3 ⁡ θ cos ⁡ θ 4 c o s ⁡ ( θ ) d θ = 4 3 ∫ 0 π 3 4 sin 3 ⁡ θ cos ⁡ θ 4 c o s ⁡ ( θ ) d θ

= 4 3 ∫ 0 π 3 sin 3 ⁡ θ d θ = 4 3 ∫ 0 π 3 sin 2 ⁡ θ sin ⁡ θ d θ

= 4 3 ∫ 0 π 3 1 - cos 2 ⁡ θ sin ⁡ θ d θ

Passo 3

Vamos resolver a integral pelo método da substituição Seja u = c o s ⁡ ( θ ) , temos que d u = - sin ⁡ θ d θ . Calculando os novos limites de integração temos:

u i n f e r i o r = cos ⁡ 0 = 1

u s u p e r i o r = cos ⁡ π 3 = 1 2

Substituindo, temos:

4 3 ∫ 0 π 3 1 - cos 2 ⁡ θ sin ⁡ θ d θ

= 4 3 ∫ 1 1 2 1 - u 2 - d u = 4 3 ∫ 1 1 2 u 2 - 1 d u

= 4 3 1 2 u 3 - u 1 1 2 = 4 3 1 2 ⋅ 1 8 - 1 2 - 1 2 - 1

= 64 ⋅ 1 16 = 4

∫ 0 2 3 x 3 16 - x 2 d x = 4

Resposta

∫ 0 2 3 x 3 16 - x 2 d x = 4

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