Enunciado

Calcule a integral.

∫ sen 3 ⁡ a θ d θ

Passo 1

Sendo a nossa integral:

∫ sen 3 ⁡ a θ d θ

Podemos usar a identidade trigonométrica que diz sen 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1 :

Então se x = a θ :

∫ sen 3 ⁡ a θ d θ = ∫ ( 1 - cos 2 ) ⁡ a θ d θ

Multiplicando, temos:

∫ sen 3 ⁡ a θ d θ = ∫ sen ⁡ a θ - cos 2 ⁡ aθ ⁡ sen ⁡ a θ d θ

Podemos separar a integral em:

∫ sen 3 ⁡ a θ d θ = ∫ sen ⁡ a θ d θ - ∫ cos 2 ⁡ aθ ⁡ sen ⁡ a θ d θ

Passo 2

Vamos resolver utilizando substituições, começando pela integral:

∫ sen ⁡ a θ d θ

Onde u = a θ e d u a = d θ :

∫ sen ⁡ a θ d θ = ∫ sen ⁡ u . d u a =   1 a cos ⁡ u

Substituindo u , teremos:

∫ sen ⁡ a θ d θ = 1 a cos ⁡ a θ  

Passo 3

Resolvendo a outra integral, teremos:

∫ cos 2 ⁡ aθ ⁡ sen ⁡ a θ d θ

Chamaremos:

u = cos ⁡ a θ

d u = - a sen ⁡ a θ d θ

Aplicando em substituição do tipo u d u , teremos:

∫ cos 2 ⁡ aθ ⁡ sen ⁡ a θ d θ = ∫ u 2 d u - a

∫ cos 2 ⁡ aθ ⁡ sen ⁡ a θ d θ = - [ 1 u 3 a . 3   ]   + C        

Substituindo u , temos:

∫ cos 2 ⁡ aθ ⁡ sen ⁡ a θ d θ = - 1 cos 3 ⁡ a θ 3 a + C

Retornando a integral principal, temos:

∫ sen 3 ⁡ a θ d θ = ∫ sen ⁡ a θ d θ - ∫ cos 2 ⁡ aθ ⁡ sen ⁡ a θ d θ

∫ sen 3 ⁡ a θ d θ = 1 a cos ⁡ a θ - - 1 cos 3 ⁡ a θ 3 a + C

∫ sen 3 ⁡ a θ d θ = 1 a cos ⁡ a θ + 1 cos 3 ⁡ a θ 3 a + C

Resposta

∫ sen 3 ⁡ a θ d θ = 1 a cos ⁡ a θ + cos 3 ⁡ a θ 3 a + C

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