Enunciado

Use a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral, ou explique por que ela não existe.

∫ s e n x 1 - s e n 2 x d x

Passo 1

A integral que ele nos pede para calcular é a seguinte:

I = ∫ s e n x 1 - s e n 2 x d x

Lá da trigonometria a gente sabe o seguinte:

s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1

Logo,

1 - s e n 2 x = cos 2 ⁡ ( x )

Substituindo na nossa integral:

I = ∫ s e n x cos 2 ⁡ x d x

Mas podemos quebrar esse cos 2 ⁡ ( x )   em cos ⁡ x ⋅ cos ⁡ x :

I = ∫ s e n x cos ⁡ x ⋅ cos ⁡ x d x

Assim,

I = ∫ t g x sec ⁡ x d x

Passo 2

Nesse caso, temos que lembrar do seguinte:

sec ⁡ x ' = 1 cos ⁡ x ' = 1 ' cos ⁡ x - 1 cos ⁡ x ' cos 2 ⁡ x = 0 cos ⁡ x - 1 - sen ⁡ x cos 2 ⁡ x = sen ⁡ x cos 2 ⁡ x

sec ⁡ x ' = sen ⁡ x cos 2 ⁡ x = 1 cos ⁡ x sen ⁡ x cos ⁡ x = sec ⁡ x   t g x

Ou seja, a antiderivada de t g x sec ⁡ ( x ) é sec ⁡ ( x ) . Assim vamos ter que

  I = ∫ t g x sec ⁡ x d x = sec ⁡ x + C

Resposta

s e c ( x ) + C

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