Calcule a integral

∫ t g 3 t   d t  

Passo 1

Primeiramente, vamos reescrever a nossa integral de tal forma que possamos aplicar alguma relação trigonométrica de tal forma que nosso cálculo possa ser simplificado. Assim, vamos reescrever nossa integral da seguinte forma

∫ t g 2 ( t ) ⋅ t g t   d t

Da relação trigonométrica fundamental podemos chegar na seguinte relação

t g 2 t = sec 2 ⁡ ( t ) - 1

Substituindo na nossa integral teremos

∫ ( sec 2 ⁡ t - 1 ) ⋅ t g t   d t

Passo 2

Da forma como está escrita nossa integral podemos fazer uma substituição simples da seguinte forma

u = sec ⁡ t → d u d t = sec ⁡ t ⋅ t g t → d t = d u sec ⁡ ( t ) ⋅ t g t

  ∫ u 2 - 1 u   d u = ∫ u 2 u - 1 u   d u

Utilizando a linearidade das integrais podemos separar a integral da subtração como a subtração das integrais

∫ u   d u - ∫ 1 u   d u

Passo 3

Por fim, podemos resolver cada integral separadamente e juntar os resultados no final. Assim,

i   ∫ u   d u = u 2 2 + C

i i     ∫ 1 u   d u = ln ⁡ u + C

Juntando ambos os resultando e retornando a variável t obteremos

∫ t g 3 ( t )   d t = sec 2 ⁡ t 2 - ln ⁡ sec ⁡ t + C

Resposta

sec 2 ⁡ t 2 - ln ⁡ sec ⁡ t + C

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