Enunciado

Calcule a integral :

int_0^2 | 2 x - 1 | d x

Passo 1

Temos um módulo no integrando, então temos que fazer uma análise de caso. Aplicando a definição de módulo, temos:

|2 x - 1| = {[[2 x - 1 , x >= (1)/(2)],[1 - 2 x , x < (1)/(2)]])

Passo 2

Como a função muda dentro do intervalo de integração, temos que repartir a integral como uma soma:

int_0^2 | 2 x - 1 | d x = int_0^(1 // 2) (1 - 2 x) d x + int_(1 // 2)^2 (2 x - 1) d x

Passo 3

Sepando os integrandos para melhor visualização temos:

int_0^(1 // 2) (1 - 2 x) d x + int_(1 // 2)^2 (2 x - 1) d x = int_0^(1 // 2) d x - 2 int_0^(1 // 2) x d x + 2 int_(1 // 2)^2 x d x - int_(1 // 2)^2 d x

Passo 4

Calculando as integrais temos:

((1)/(2) - 0) - (((1)/(2))^2 - 0^2) + (2^2 - ((1)/(2))^2) - (2 - ((1)/(2))) = (1)/(2) - (1)/(4) + 4 - (1)/(4) - 2 + (1)/(2) = (5)/(2)

Resposta

(5)/(2)

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