Enunciado

Para que valores de a e b é (2; 2,5) um ponto de inflexão da curva x 2 y + a x + b y = 0 ? Quais pontos de inflexão adicionais curva tem?

Passo 1

O enunciado nos da uma curva geral:

x 2 y + a x + b y = 0

Aqui não temos nem a ou b determinados, então essa curva geral representa inifinitas curvas. O que queremos saber é quais curvas tem um ponto de inflexão em ( 2 ; 2,5 ) . Sabendo disso também vamos precisar descobrir quais pontos de inflexão adicionais curva tem.

Pra responder essa pergunta precisamos saber como reconhecer um ponto de inflexão. Temos que ter:

f ' ' x = 0

Além disso precisamos analisar os sinais:

  • Se f ' ' x > 0 a esquerda e f ' ' x < 0 a direita, então temos um ponto de inflexão ascendente.
  • Se f ' ' x < 0 a esquerda e f ' ' x > 0 a direita, então temos um ponto de inflexão descendente.

Sabendo disso, mãos a obra!

Passo 2

Sabemos que o ponto ( 2 ; 2,5 ) pertence a nossa curva. Então podemos substituir:

Substituindo:

2 2 2,5 + a 2 + b 2,5 = 0

10 + 2 a + 2,5 b = 0

Podemos reescrever assim:

4 a + 5 b = - 20

Opa, já temos uma informação aqui! Vamos guardar ela por enquanto

Passo 3

Agora vamos pra analise da derivada segunda, mas antes disso vamos dar uma arrumadinha na equação:

x 2 y + a x + b y = 0

y ( x 2 + b ) + a x = 0

y x 2 + b = - a x

Isolando o y :

y = - a x x 2 + b

Vamos encontrar a primeira derivada, usando a regra do quociente:

y ' = - a x 2 + b - a x 2 x x 2 + b 2

Reescrevendo:

y ' = a x 2 - b x 2 + b 2

Calculando a segunda derivada, pela regra do quociente:

y " =     2 a x   ( x 2 + b ) 2 - a x 2 + b 2   x 2 + b 2 x x 2 + b 4

Simplificando:

y ' ' = - 2 a x x 2 - 3 b x 2 + b 3

Sabemos que no ponto ( 2 ; 2,5 ) :

- 2 a x x 2 - 3 b ( x 2 + b ) 3 = 0

Substituindo:

- 4 a 4 - 3 b ( 4 + b ) 3 = 0

Para isso devemos ter:

4 - 3 b = 0

Logo:

b = 4 3

Passo 4

Dos passos anteriores temos:

4 a + 5 b = - 20

b = 4 3

Então:

4 a + 5 4 3 = - 20

a = - 20 3

Substituindo na equação original:

x 2 y - 20 3 x + 4 3 y = 0

Podemos dar uma arrumadinha:

3 x 2 y - 20 x + 4 y = 0

Ou então:

y = 20 x 3 x 2 + 4

Passo 5

Para descobrir mais pontos de inflexão temos que voltar a derivada segunda:

y ' ' = - 2 a x x 2 - 3 b x 2 + b 3 = 0

Substituindo a e b :

y ' ' = 4 0 3 x - x 2 + 4 x 2 + 4 3 3 = 0

Para isso deveremos ter:

x = 0

Ou:

- x 2 + 4 = 0

x = ± 2

O ponto x = 2 foi dado, agora vamos averiguar x = - 2 . Pegando um ponto antes e depois:

y ' ' = 40 3 - 3 - - 3 2 + 4 - 3 2 + 4 3 3 > 0

y ' ' = 40 3 - 1 - - 1 2 + 4 - 1 2 + 4 3 3 > 0

Como a derivada não muda de sinal x = - 2 não é um ponto de inflexão! Calculando a derivada para x = 1 :

y ' ' = 40 3 1 - 1 2 + 4 1 2 + 4 3 3 < 0

A derivada muda de sinal entre x = - 1 e x = 1 então x = 0 é um ponto de inflexão. Calculando y :

y = 20 0 3 0 2 + 4 = 0

Portanto o ponto é ( 0,0 ) .

Ufaaa, acabou!

Resposta

a = - 20 3

b = 4 3

0,0   é   u m   p o n t o   d e   i n f l e x ã o

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