Calcule a integral.

∫ ln ⁡ ( x + x 2 - 1 ) d x

Passo 1

Vamos resolver esse probleminha. Mas qual método usaremos? Então temos duas funções nessa integral sendo multiplicadas, por isso não podemos aplicar uma “integral pronta”, por isso que a gente usa a integral por partes!!

Para o valor de u , vamos ter

u = ln ⁡ x + x 2 - 1  

Usando a regra da cadeia para a derivação, chamamos r = x + x 2 - 1 , assim

d d r ln ⁡ ( r ) × d d x ( x + x 2 - 1 )

1 r × d d x x + d d x x 2 - 1

1 r × 1 + 1 2 x 2 - 1 × 2 x

Substituimos os valores:

1 x + x 2 - 1 × 1 + 1 2 x 2 - 1 × 2 x

Agora simplificamos a equação, eliminando o 2:

1 x + x 2 - 1 × 1 + x x 2 - 1

Tiramos o MMC da expressão entre colchetes:

1 x + x 2 - 1 × x 2 - 1 + x x 2 - 1

1 x 2 - 1

Assim, temos o nosso d u :

  d u = 1 x 2 - 1 d x

O nosso d v é:

d v = d x

v = x

Já dá pra gente resolver, é só calcular na integral!

Passo 2

Resolvendo...

A fórmula da integral por partes é:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Portanto:

∫ ln ⁡ ( x + x 2 - 1 ) d x = ln ⁡ x + x 2 - 1 × x - ∫ x x 2 - 1 d x

Calculando...

= ln ⁡ x + x 2 - 1 × x - ∫ x x 2 - 1 d x

Para x x 2 - 1 , fazemos uma substituição onde u = x 2 - 1 e d u = x x 2 - 1 d x , logo

= ln ⁡ x + x 2 - 1 × x - ∫ x u × 1 x x 2 - 1 d x

= ln ⁡ x + x 2 - 1 × x - ∫ 1 u × 1 1 x 2 - 1 d x

= ln ⁡ x + x 2 - 1 × x - ∫ 1 x 2 - 1 × x 2 - 1 d x

= ln ⁡ x + x 2 - 1 × x - ∫ 1 d u

= ln ⁡ x + x 2 - 1 × x - u

∫ ln ⁡ ( x + x 2 - 1 ) d x = x ln ⁡ x + x 2 - 1 - x 2 - 1 + C

Prontinho!!

Resposta

∫ ln ⁡ ( x + x 2 - 1 ) d x = x ln ⁡ x + x 2 - 1 - x 2 - 1 + C

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