Calcule a integral.

∫ t sin ⁡ t cos ⁡ t d t

Passo 1

Bora calcular a integral:

∫ t sin ⁡ t cos ⁡ t d t

Mas qual estratégia vamos usar?! Podemos começar tentando simplificar a nossa integral. Procurando nas identidades trigonométricas vemos que:

sin ⁡ 2 θ = 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ

Dessa forma podemos dizer que:

∫ t sin ⁡ t cos ⁡ t d t = 1 2 ∫ t sin ⁡ 2 θ d t

Passo 2

Podemos resolver essa integral utilizando o método da integral por partes, lembrando que existe uma ordem de prioridade pra escolha de u :

Olhando a nossa integral teremos:

∫ t sin ⁡ 2 θ d t

u = t → d u = d t

d v = sin ⁡ 2 t   d t → v = - 1 2 cos ⁡ 2 t

Passo 3

A fórmula da integral por partes é:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Portanto:

∫ t sin ⁡ 2 t d t = 1 2 - 1 2 t cos ⁡ 2 t - ∫ - 1 2 cos ⁡ 2 t d t

Calculando:

∫ t sin ⁡ 2 t d t = 1 2 - 1 2 t cos ⁡ 2 t + 1 2 ∫ cos ⁡ 2 t d t

Para o cos ⁡ 2 t , fazemos uma substituição onde u = 2 t e d u = 2 d t , logo:

∫ t sin ⁡ 2 t d t = 1 2 - 1 2 t cos ⁡ 2 t + 1 2 ∫ 1 2 cos ⁡ u d u

∫ t sin ⁡ 2 t d t = 1 2 - 1 2 t cos ⁡ 2 t + 1 4 ∫ cos ⁡ u d u

∫ t sin ⁡ 2 t d t = 1 2 - 1 2 t cos ⁡ 2 t + 1 4 sin ⁡ 2 t

∫ t sin ⁡ 2 t d t = - 1 4 t cos ⁡ 2 t + 1 8 sin ⁡ 2 t + C

Prontinho!!

Resposta

∫ t sin ⁡ 2 t d t = - 1 4 t cos ⁡ 2 t + 1 8 sin ⁡ 2 t + C

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