Enunciado

Calcule a integral

int (d x)/(x log_10 x)

Passo 1

Questões como esta, que pede apenas para resolvermos uma integral, começam a se tornar complexas. Vamos colocar todos os conhecimentos aprendidos em prática. Podemos calcular integrais definidas, indefinidas, utilizar regra da substituição, etc. Desta forma, é importante termos um domínio dos assuntos prévios. Sempre que necessário, revisaremos quaisquer conceitos!

Passo 2

Vamos começar por analisar a integral que devemos resolver. Vejamos ela abaixo.

int (d x)/(x log_10 x)

Façamos inicialmente uma mudança de variável. Seja u = log_10 x , consequentemente, temos d u = (d x)/(x ln 10) . Portanto, temos:

int (d x)/(x log_10 x) = ln 10 int (d u)/(u)

E agora chegamos a uma função facilmente integrável!

Passo 3

Vamos obter a primitiva da nossa integral. Desta forma, temos:

ln 10 * int (d u)/(u) = ln 10 * ln |u| + k

Voltando para a variável inicial, temos:

ln 10 * ln |u| + k = ln 10 * ln |log_10 x| + k

Portanto, a solução do nosso problema é:

int (d x)/(x log_10 x) = ln 10 * ln |log_10 x| + k

OBS: Cuidado para não esquecerem da constante k , pois estamos resolvendo uma integral indefinida!

Resposta

int (d x)/(x log_10 x) = ln 10 * ln |log_10 x| + k

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Efetue a antidiferenciação int (x^3)/(sqrt(1 - 2 x ²)) d x ²
Calcule ∫ x ( x 2 + 2 ) ² d x ² por dois métodos: (a) expandindo ( x 2 + 2 ) ² ² e multiplicando o resultado por x.
Calcule ∫ x - 1 2 x d x por dois métodos: (c) Explique a diferença entre as respostas (a) e (b)
Efetue a antidiferenciação int s e c x t g x c o s ( s e c x ) d x
Efetue a antidiferenciação int (x^3)/(( x^2 + 4 )^(3 // 2)) d x