Enunciado

Calcule a integral.

∫ t 2 sin ⁡ β t d t

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! Devemos calcular a seguinte integral:

∫ t 2 sin ⁡ β t d t

Não é uma integral tão banal de resolver, então vamos precisar usar um método de integração! Pra a gente usar substituição simples teríamos que ter selecionar um u e a derivada do u , d u também deve ser encontrada na expressão!

Isso não acontece aqui, então vamos seguir com integração por partes!

Dica: Sempre tente resolver a integral pelo método mais simples!

Para integrar por partes temos:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Para escolher o u usamos a seguinte ordem de prioridade:

Na nossa integral a gente tem uma parte algébrica e uma trigonométrica. Pela ordem de prioridade teremos:

u = t 2

d v = sin ⁡ β t   d t

Passo 2

Derivamos u pra achar d u :

d u d t = 2 t → d u = 2 t   d t  

E o que sobrou é d v :

d v = sin ⁡ β t   d t

Integramos pra achar v :

∫ d v = ∫ sin ⁡ β t   d t

Pra resolver essa integral vamos usar uma substituição simples:

U = β t

d U d t = β → d t = 1 β d U

Então:

v = ∫ sin ⁡ U 1 β d U

v = 1 β ∫ sin ⁡ U d U = - cos ⁡ U β = - cos ⁡ β t β

Agora a gente pode montar a integral:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

∫ t 2 sin ⁡ β t d t = t 2 - cos ⁡ β t β - ∫ - cos ⁡ β t β 2 t   d t

∫ t 2 sin ⁡ β t d t = t 2 - cos ⁡ β t β + ∫ cos ⁡ β t β 2 t   d t

Passo 3

Agora temos que resolver a integral:

∫ cos ⁡ β t β 2 t   d t

Mas pra isso vamos precisar usar a integração por partes de novo! Aqui teremos:

u = 2 t

d u = 2   d t

Agora o d v :

d v = cos ⁡ β t

v = ∫ cos ⁡ β t β = sin ⁡ β t β 2

Montamos a integral por partes:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

∫ cos ⁡ β t β 2 t   d t = 2 t sin ⁡ β t β 2 - ∫ sin ⁡ β t β 2 2   d t

∫ cos ⁡ β t β 2 t   d t = 2 t sin ⁡ β t β 2 - 1 β 2 ∫ sin ⁡ β t 2   d t

Passo 4

Agora resolvemos a integral:

∫ sin ⁡ β t = - cos ⁡ β β

Logo:

∫ cos ⁡ β t β 2 t   d t = 2 t β 2 sin ⁡ β t - 2 β 2 - cos ⁡ β β

= 2 t β sin ⁡ β t + 2 β 3 cos ⁡ β

Agora a gente volta pra integral original:

∫ t 2 sin ⁡ β t d t = t 2 - cos ⁡ β t β + 2 t β 2 sin ⁡ β t + 2 β 3 cos ⁡ β

Rearrumando pra ficar no mesmo denominador:

∫ t 2 sin ⁡ β t d t = t 2 β 2 - cos ⁡ β t β 3 + 2 t β β 3 sin ⁡ β t + 2 β 3 cos ⁡ β

E colocando termos em evidência:

∫ t 2 s e n   β t   d t =     2 - t 2 β 2 ∙ c o s   β t +   2 t β ∙ s e n   β t   β 3

Prontinho!

Resposta

∫ t 2 s e n   β t   d t =     2 - t 2 β 2 ∙ c o s   β t +   2 t β ∙ s e n   β t   β 3

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