Calcule a integral.

∫ 0 2 π   t 2 s e n   2 t d t

Passo 1

Opa! Bora resolver esse problema. Devemos integrar:

∫ 0 2 π   t 2 s e n   2 t d t

Para este caso vamos aplicar a técnica de integração por partes. Para isso precisamos dividir o argumento da integral em duas funções f ( t ) e g ( t ) respectivamente. Feito isso, aplicamos a fórmula para a integração por partes que é dada por :

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Ou de forma mais visível, fazemos:

∫ f t g ' t = f t g t - ∫ f ' t g ( t )

Primeiro então, devemos definir quem vão ser nossas funções. É aconselhável escolher a função mais fácil de derivar para ser f t ou a mais difícil de se integrar. Assim:

f t = t 2         e           g ' t = s e n ( 2 t )

Derivando f e integrando g ' , temos:

f t = t 2 ⇒ f ' t = 2 t

g ' t = s e n ( 2 t ) ⇒ g t = ∫ s e n 2 t   d t = - c o s c o s   2 t   2

Passo 2

Aplicando os resultados obtidos na fórmula citada no passo anterior, temos:

∫ 0 2 π t 2 s e n   2 t d t = - 1 2 t 2 c o s c o s   2 t   | 2 π 0 - ∫ 0 2 π - 2 t c o s c o s   2 t   2   d t    

= - 1 2 t 2 c o s c o s   2 t   | 2 π 0 + ∫ 0 2 π t c o s c o s   2 t   d t  

Passo 3

Observe que teremos que aplicar a integração por partes novamente. Assim:

f 1 t = t       e       g 1 ' ( t ) = c o s c o s   2 t  

Derivando f e integrando g ' , temos:

f 1 t = t ⇒ f ' t = 1

g 1 ' t = c o s c o s   2 t   ⇒ g 1 t = ∫ c o s c o s   2 t   �� d t = s e n   2 t 2

Então, podemos escrever que:

∫ t c o s c o s   2 t   d t   = t 2 s e n 2 t - ∫ s e n 2 t 2   d t = t 2 s e n 2 t + 1 2 1 2 c o s c o s   2 t = t 2 s e n 2 t + 1 4 c o s c o s   2 t      

Passo 4

Retomando a integral inicial e aplicando os resultados encontrados e os limites de integração, temos:

∫ 0 2 π t 2 s e n   2 t d t = - 1 2 t 2 c o s c o s   2 t   | 2 π 0 + ∫ 0 2 π t c o s c o s   2 t   d t   =

- 1 2 t 2 c o s c o s   2 t   | 2 π 0 + [ t 2 s e n 2 t + 1 4 c o s c o s   2 t ]   | 2 π 0 =    

= - 4 π 2 2 c o s c o s   4 π   + 0 + 2 π 2 s e n 4 π + 1 4 c o s c o s   4 π   - 0 + 1 4 c o s c o s   0     =  

=   - 2 π 2

Relembrando que de forma genérica a integral definida possui a seguinte definição:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Resposta

- 2 π 2

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