Enunciado

Use integração por partes para calcular a integral.

∫ ln ⁡ ( 2 x + 3 ) d x

Passo 1

Precisamos montar a fórmulinha:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Quando a gente tem um log sozinho no integrando, escolhemos essa função como u :

u = ln ⁡ ( 2 x + 3 ) , d u d x = 2 2 x + 3 ∴ d u = 2 2 x + 3 d x

E d v fica sendo o que sobrou:

d v = 1   d x ∴ v = ∫ 1 d x = x

Substituindo o que a gente tem:

∫ ln ⁡ ( 2 x + 3 ) d x = ln ⁡ ( 2 x + 3 ) ⋅ x - ∫ x ⋅ 2 2 x + 3 d x

Passo 2

Agora é resolver separadamente essa integral que apareceu:

∫ 2 x 2 x + 3 d x

Vamos usar a substituição:

u = 2 x + 3 ∴ u - 3 = 2 x

d u d x = 2 ∴ d u 2 = d x

Substituindo na integral:

∫ 2 x 2 x + 3 d x = 1 2 ∫ u - 3 u d u = 1 2 ∫ 1 - 3 u d u = 1 2 u - 3 ln ⁡ u

Mas como u = 2 x + 3 :

∫ 2 x 2 x + 3 d x = 1 2 2 x + 3 - 3 ln ⁡ 2 x + 3 = x + 3 2 - 3 2 ln ⁡ ( 2 x + 3 )

Passo 3

Substituindo a resposta nas nossas continhas:

∫ ln ⁡ 2 x + 3 d x = ln ⁡ 2 x + 3 ⋅ x - x + 3 2 - 3 2 ln ⁡ 2 x + 3 + C 1

∫ ln ⁡ 2 x + 3 d x = x ln ⁡ 2 x + 3 - x - 3 2 - 3 2 l n ⁡ ( 2 x + 3 ) + C 1

Não podemos esquecer da constante de integração, porque isso não é uma integral definida.

E por ser uma integral indefinida, se você achar a resposta igualzinha a essa mas sem o termo - 3 / 2 , também está certo! A integral indefinida tem uma família de soluções, lembra? Elas diferem só por uma constante.

Por isso, podemos dizer também que:

∫ ln ⁡ 2 x + 3 d x = x ln ⁡ 2 x + 3 - x - 3 2 l n ⁡ ( 2 x + 3 ) + C 2

Belezinha?

Resposta

∫ ln ⁡ 2 x + 3 d x = x ln ⁡ 2 x + 3 - x - 3 2 - 3 2 l n ⁡ ( 2 x + 3 ) + C 1

Ou

∫ ln ⁡ 2 x + 3 d x = x ln ⁡ 2 x + 3 - x - 3 2 l n ⁡ ( 2 x + 3 ) + C 2

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