Enunciado

A soma de dois números positivos é 16 . Qual é o menor valor possível para a soma de seus quadrados?

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... a questão nos diz que a soma de dois números positivos é 16 .

Queremos descobrir o menor valor possível para a soma de seus quadrados.

Bom... para isso a gente tem que supor que os dois números positivos sejam respectivamente x e y , então temos que:

x + y = 16

Queremos saber qual é o menor valor possível (mínimo) para a soma de seus quadrados, ou seja:

x 2 + y 2 = m e n o r   v a l o r   p o s s í v e l = m

Podemos então isolar uma variável e substituir na equação acima, assim:

x = 16 - y ∴

16 - y 2 + y 2 = m ∴

y 2 - 32 y + 16 2 + y 2 = m ∴

2 y 2 - 32 y = m - 16 2

Esse é um problema de otimização. Queremos minimizar o valor de m . E como é que a gente encontra o mínimo de uma função?

Passo 2

Como queremos um valor de mínimo (um ponto crítico) podemos aplicar o Teste da Primeira Derivada, ou seja, derivamos e igualamos a zero, assim:

2 y 2 - 32 y + 16 2 - m = 0 ' ∴

4 y - 32 = 0 ∴

4 y = 32 ∴

y = 8

Substituindo o valor de y na equação isolada para x , temos:

x = 16 - y ∴

x = 16 - 8 ∴

x = 8

Passo 3

Logo, o menor valor possível para a soma dos quadrados de dois números positivos que somados dão 16 , é:

x 2 + y 2 = m ∴

8 2 + 8 2 = m ∴

m = 128

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

128

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