Enunciado

Calcule a integral.

∫ 0 1 1 t + 1 i + 1 t 2 + 1 j + 2 t t 2 + 1 k d t

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Esta questão é bem simples.

Temos apenas que resolver d forma individual cada integral, utilizar algumas regras de integração quando cnecessário.

Vams começar?

Passo 2

Note que podemos escrever a integral do enunciado da seguinte maneira:

∫ 0 1 1 t + 1 i + 1 t 2 + 1 j + 2 t t 2 + 1 k d t

Separando as integrais para resolvermos separadamente

= ∫ 0 1 1 t + 1 d t i + ∫ 0 1 1 t 2 + 1 d t j + ∫ 0 1 2 t t 2 + 1 d t k

Passo 3

Calculando cada uma, temos:

∫ 0 1 1 t + 1 d t i = ln ⁡ t + 1 i 0 1

Substituindo o slimites de integração

= ln ⁡ 1 + 1 - ln ⁡ 0 + 1 i

= ln ⁡ 2 - ln ⁡ 1 i

Como ln ⁡ 1 = 0 , temos que

∫ 0 1 1 t + 1 d t i = ln ⁡ 2 i

Passo 4

Para calcular ∫ 0 1 1 t 2 + 1 d t j , temos que ter ciência da relação:

∫ 0 1 1 x 2 + a 2 d x = 1 a tan - 1 ⁡ x a

Para o nosso caso, temos que a = 1 e x = t , logo:

∫ 0 1 1 t 2 + 1 d t j = tan - 1 ⁡ t 1 j 0 1

= tan - 1 ⁡ 1 1 - tan - 1 ⁡ 0 1 j

Substituindo o slimites de integração

∫ 0 1 1 t 2 + 1 d t j = π 4 j

Passo 5

Para a integral ∫ 0 1 2 t t 2 + 1 d t k , temos que utilizar o método da substituição. Vamos chamar:

t 2 + 1 = u

Logo: d u = 2 t d t e 2 t d t = d u

Analisando os intervalos, temos:

t = 0 → u = 1

t = 1 → u = 2

Substituindo, temos:

∫ 0 1 2 t t 2 + 1 d t k = ∫ 1 2 1 u d u k

Resolvendo, temos que:

∫ 0 1 t t 2 + 1 d t k = ∫ 1 2 1 u d u k = ln ⁡ u k 1 2

Substituindo o slimites de integração

= ln ⁡ 2 - ln ⁡ 1 k

Como ln ⁡ 1 = 0 , temos que:

∫ 0 1 t t 2 + 1 d t k = ln ⁡ 2 k

Passo 6

Logo, a nossa resposta para a integral será:

∫ 0 1 1 t + 1 i + 1 t 2 + 1 j + t t 2 + 1 k d t = ln ⁡ 2 i + π 4 j + ln ⁡ 2 k

Repara que a resposta ta diferente lá no final do livro. MUITO provavelmente é porque na versão do livro em inglês a integral de k é ( t t 2 + 1 )... Daí daria a resposta direitinho e igual à do final. Deve ser um errinho na hora de traduzir. =)

Resposta

∫ 0 1 1 t + 1 i + 1 t 2 + 1 j + t t 2 + 1 k d t = ln ⁡ 2 i + π 4 j + ln ⁡ 2 k

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