Enunciado

Calcule a integral.

int_(- 1)^2 (x - 2 |x|) d x

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos calcular a seguinte integral definida:

int_(- 1)^2 (x - 2 |x|) d x

Para isso, devemos calcular primeiro a integral indefinida para encontrar a primitiva e, depois, aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz o seguinte:

Se f for contínua em [a , b] , então

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Onde F é qualquer primitiva de f , isto é, uma função tal que F^' = f .

Agora bora aplicar!! 😉

Passo 2

Ixiii, temos um módulo alí na função, mas calma, só precisamos analisar esse módulo e vai da tudo certo.

Veja bem, como o intervalo de integração vai de - 1 a 2 , o que temos que fazer é separar essa integral, para isso vamos usar a seguinte propriedade, que combina integrais da mesma função em intervalos adjacentes:

int_a^c f (x) d x + int_c^b f (x) d x = int_a^b f (x) d x

Pronto, vamos usar!! Para o intervalo de integração menor que 0 usamos |x| = - x e maior que 0 , |x| = x :

int_(- 1)^2 (x - 2 |x|) d x = int_(- 1)^0 (x - 2 (- x)) d x + int_0^2 (x - 2 x) d x

int_(- 1)^2 (x - 2 |x|) d x = int_(- 1)^0 3 x d x + int_0^2 - x d x

Viu? Agora fica simples de resolver, vamos lá!

Passo 3

Vamos agora calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

int 3 x d x + int - x d x

Agora é fácil achar as primitivas de cada função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Agora é só aplicar, vamos resolver elas separadamente, assim fica mais simples de ver:

int 3 x d x = 3 int x d x = 3 * (x^(1 + 1))/(1 + 1) = (3 x^2)/(2) + C

int - x d x = - 1 int x d x = - 1 * (x^(1 + 1))/(1 + 1) = - (x^2)/(2) + C

Passo 4

Pronto, já encontramos a integral indefinida!!

Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Ficamos então com:

int_(- 1)^2 (x - 2 |x|) d x = int_(- 1)^0 3 x d x + int_0^2 - x d x

int_(- 1)^2 (x - 2 |x|) d x = ((3 x^2)/(2))_(- 1)^0 + (- (x^2)/(2))_0^2

int_(- 1)^2 (x - 2 |x|) d x = ((3 . 0^2)/(2) - (3 . (- 1)^2)/(2)) + (- (2^2)/(2) - (- (0^2)/(2)))

int_(- 1)^2 (x - 2 |x|) d x = - (3)/(2) + (- 2)

int_(- 1)^2 (x - 2 |x|) d x = - (7)/(2)

Resposta

int_(- 1)^2 (x - 2 |x|) d x = - (7)/(2)

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