Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.8 - Ex. 32
- Use o método de Newton com para encontrar a raiz da equação com precisão de seis casas decimais.
- Resolva a equação da parte (a) usando como aproximação inicial .
- Resolva a equação da parte (a) utilizando . (Você definitivamente precisa de uma calculadora programável para esta parte.)
- Faça o gráfico de e suas retas tangentes em , e para explicar por que o método de Newton é tão sensível ao valor da aproximação inicial.
Passo 1
- Vamos lá aplicar o método de Newton, para isso vamos usar sua fórmula:
- Para achar a raiz usando a aproximação inicial vamos usar uma calculadora programável, aqui vou colocar os valores de achados, então é só conferir:
- Se na letra anterior já usamos o recurso da calculadora programável, e a questão aconselha a usar uma calculadora programável, então vamos nos preparar, vamos fazer no mesmo esquema da letra (b), usando :
- Aqui temos o gráfico de e suas retas tangentes em , e :
Primeiro temos que
Vamos agora precisar de , vamos calcular então!!
Passo 2
Para achar a derivada de vamos usar algumas regras de derivação, o da função constante e do polinômio:
Vamos calcular :
Passo 3
Pronto, agora que temos é só jogar na fórmula de Newton:
Vamos agora usar como pedido da questão, vamos lá:
Como queremos uma precisão de seis casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de deixar de variar, vamos lá:
Mais uma vez, agora com :
Ainda está variando, vamos agora com :
Agora com :
Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é .
Passo 4
; ; ; ; ; ; ; ; ; ; e
Passo 5
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Passo 6
Vamos analisar a figura, a linha tangente corresponde a , que resulta em uma sequência de aproximações que converge muito rapidamente, fazendo .
A linha tangente correspondente a está quase horizontal, então está bem londe da raiz, porém essa sequência ainda converge, só que um pouc mais devagar, fazendo .
Por último, a linha tangente correspondente a é quase horizontal, está mais distante da raiz e por isso temos mais iterações para poder convergir, chegando a .
Resposta
- A raiz é
- A raiz é
- A raiz é