Enunciado

  1. Use o método de Newton com x 1 = 1 para encontrar a raiz da equação x 3 - x = 1 com precisão de seis casas decimais.
  2. Resolva a equação da parte (a) usando como aproximação inicial x 1 = 0,6 .
  3. Resolva a equação da parte (a) utilizando x 1 = 0,57 . (Você definitivamente precisa de uma calculadora programável para esta parte.)
  4. Faça o gráfico de f x = x 3 - x - 1 e suas retas tangentes em x 1 = 1 , 0,6 e 0,57 para explicar por que o método de Newton é tão sensível ao valor da aproximação inicial.

Passo 1

  1. Vamos lá aplicar o método de Newton, para isso vamos usar sua fórmula:
  2. x n + 1 = x n - f x n f ' x n

    Primeiro temos que f x = x 3 - x - 1

    Vamos agora precisar de f ' x , vamos calcular então!!

    Passo 2

    Para achar a derivada de f vamos usar algumas regras de derivação, o da função constante e do polinômio:

    c ' = 0

    x n ' = n x n - 1

    Vamos calcular f ' x :

    f ' x = x 3 - x - 1 ' = 3 x 3 - 1 - x 1 - 1 - 0 = 3 x 2 - 1

    Passo 3

    Pronto, agora que temos f ' x é só jogar na fórmula de Newton:

    x n + 1 = x n - f x n f ' x n → x n + 1 = x n - x n 3 - x n - 1 3 x n 2 - 1

    Vamos agora usar x 1 = 1 como pedido da questão, vamos lá:

    x 1 + 1 = x 2 = x 1 - x n 3 - x n - 1 3 x n 2 - 1 = 1,5

    Como queremos uma precisão de seis casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de x n deixar de variar, vamos lá:

    x 2 + 1 = x 3 = x 2 - x n 3 - x n - 1 3 x n 2 - 1 ≈ 1,347826

    Mais uma vez, agora com x 4 :

    x 3 + 1 = x 4 = x 3 - x n 3 - x n - 1 3 x n 2 - 1 ≈ 1,325200

    Ainda está variando, vamos agora com x 5 :

    x 4 + 1 = x 5 = x 4 - x n 3 - x n - 1 3 x n 2 - 1 ≈ 1,324718

    Agora com x 6 :

    x 5 + 1 = x 6 = x 5 - x n 3 - x n - 1 3 x n 2 - 1 ≈ 1,324718

    Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é 1,324718 .

    Passo 4

  3. Para achar a raiz usando a aproximação inicial x 1 = 0,6 vamos usar uma calculadora programável, aqui vou colocar os valores de x n achados, então é só conferir:
  4. x 2 = 17,9 ; x 3 ≈ 11,946802 ; x 4 ≈ 7,985520 ; x 5 ≈ 5,356909 ; x 6 ≈ 3,624996 ; x 7 ≈ 2,505589 ; x 8 ≈ 1,820129 ; x 9 ≈ 1,461044 ; x 10 ≈ 1,339323 ; x 11 ≈ 1,324913 ; x 12 ≈ 1,324718 e x 13 ≈ 1,324718

    Passo 5

  5. Se na letra anterior já usamos o recurso da calculadora programável, e a questão aconselha a usar uma calculadora programável, então vamos nos preparar, vamos fazer no mesmo esquema da letra (b), usando x 1 = 0,57 :
  6. x 2 ≈ - 54,165455 ; x 3 ≈ - 36,114293 ; x 4 ≈ - 24,082094 ; x 5 ≈ - 16,063387 ; x 6 ≈ - 10,721483 ; x 7 ≈ - 7,165534 ; x 8 ≈ - 4,801704 ; x 9 ≈ - 3,233425 ; x 10 ≈ - 2,193674 ; x 11 ≈ - 1,496867 ; x 12 ≈ - 0,997546 ; x 13 ≈ - 0,496305 ; x 14 = - 2,894162 ; x 15 ≈ - 1,967962 ; x 16 ≈ - 1,341355 ; x 17 ≈ - 0,870187 ; x 18 ≈ - 0,249949 ; x 19 ≈ - 1,192219 ; x 20 ≈ - 0,731952 ; x 21 ≈ 0,355213 ; x 22 ≈ - 1,753322 ; x 23 ≈ - 1,189420 ; x 24 ≈ - 0,729123 ; x 25 ≈ 0,377844 ; x 26 = - 1,937872 ; x 27 ≈ - 1,320350 ; x 28 ≈ - 0,851919 ; x 29 ≈ - 0,200959 ; x 30 ≈ - 1,119386 ; x 31 ≈ - 0,654291 ; x 32 ≈ 1,547010 ; x 33 ≈ 1,360051 ; x 34 ≈ 1,325828 ; x 35 ≈ 1,324719 ; x 36 ≈ 1,324718 e x 37 ≈ 1,324718

    Passo 6

  7. Aqui temos o gráfico de f x = x 3 - x - 1 e suas retas tangentes em x 1 = 1 , 0,6 e 0,57 :

Vamos analisar a figura, a linha tangente corresponde a x 1 = 1 , que resulta em uma sequência de aproximações que converge muito rapidamente, fazendo x 5 ≈ x 6 .

A linha tangente correspondente a x 1 = 0,6 está quase horizontal, então x 2 está bem londe da raiz, porém essa sequência ainda converge, só que um pouc mais devagar, fazendo x 12 ≈ x 13 .

Por último, a linha tangente correspondente a x 1 = 0,57 é quase horizontal, x 2 está mais distante da raiz e por isso temos mais iterações para poder convergir, chegando a x 36 ≈ x 37 .

Resposta

  1. A raiz é 1,324718
  2. A raiz é 1,324718
  3. A raiz é 1,324718

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