Calcule a integral.

∫ x 3 - x 4   d x

Passo 1

E aí, pessoal! 😬

A questão pede para calcularmos a integral usando alguma das técnicas de integração estudadas até agora.

∫ x 3 - x 4   d x

Tem ideia do que temos que fazer? 🤔

Vamos aplicar o método de substituição substituindo a variável de integração uma função...

Vamos fazer u = x 2 de modo que d u = 2 x   d x . Assim,

∫ x 3 - x 4   d x = 1 2 ∫ 1 3 - u 2 d u

Parece mais fácil assim? 👀

Passo 2

Agora vamos fazer u = 3   t ⇒ d u = 3   d t . Assim,

1 2 ∫ 1 3 - u 2 d u = 3 2 ∫ 1 1 - t 2 d t

Desta forma, pelo teorema fundamental do cálculo, temos

3 2 ∫ 1 1 - t 2 d t = 3 2 a r c s e n   t + C

Passo 3

Voltando a variável u :

1 2 ∫ 1 3 - u 2 d u = 3 2 a r c s e n   u 3 + C

Por fim, na variável x :

∫ x 3 - x 4   d x = 3 2 a r c s e n   x 2 3 + C

E aí! o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

3 2 a r c s e n   x 2 3 + C

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