Avalie a integral:

∫ x sec ⁡ ( x ) tan ⁡ ( x ) d x

Passo 1

A primeira coisa que tem que chamar a sua atenção nessa integral é aquele produto de secante e tangente. Essa é simplesmente a derivada de sec ⁡ ( x ) !

d d x sec ⁡ ( x ) = sec ⁡ ( x ) tan ⁡ ( x )

Então uma integral por partes pode ser uma boa ideia:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

u = x d v = sec ⁡ x tan ⁡ x d x         ⇒         d u = d x v = sec ⁡ x

Passo 2

Então vamos aplicar essa fómula:

I = u v - ∫ v   d u

I = x sec ⁡ ( x ) - ∫ sec ⁡ x   d x

E a integral da secante é ln ⁡ tan ⁡ x + sec ⁡ x (isso costuma ser dado em tabelas!), então:

I = x sec ⁡ ( x ) - ln ⁡ tan ⁡ x + sec ⁡ x + C

Resposta

A integral vale x sec ⁡ ( x ) - ln ⁡ tan ⁡ x + sec ⁡ x + C .

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