Calcule a integral.

4 .   ∫ x 2 9 - x 2 d x

Passo 1

Fala aí! como vai? 😬

Nesse problema queremos calcular a integral

∫ x 2 9 - x 2 d x

Parece dificil? 👀

Para resolver essa integral teremos que fazer uma substituição trigonométrica, segundo a tabela no início da seção 3 , do tipo:

x = 3 sin ⁡ θ

θ = sin - 1 ⁡ x 3

d x = 3 cos ⁡ θ d θ

Veja só! 👀

Passo 2

Realizando a substituição a nossa integral fica:

∫ x 2 9 - x 2 d x = ∫ ( 3 sin ⁡ θ ) 2 9 - ( 3 sin ⁡ θ ) 2 3 cos ⁡ θ d θ

∫ x 2 9 - x 2 d x = ∫ ( 3 sin ⁡ θ ) 2 3 cos ⁡ θ 3 cos ⁡ θ d θ

Simplificando...

∫ x 2 9 - x 2 d x = ∫ 9 sin 2 ⁡ θ

Agora para prosseguir na integração teremos que lembrar da seguinte identidade:

sin 2 ⁡ θ = 1 - cos ⁡ 2 θ 2

Então:

9 ∫ 1 - cos ⁡ 2 θ 2 d θ = 9 2 ∫ d θ - 9 2 ∫ cos ⁡ 2 θ d θ

9 ∫ 1 - cos ⁡ 2 θ 2 d θ = 9 2 θ - 9 2 sin ⁡ 2 θ 2

9 ∫ 1 - cos ⁡ 2 θ 2 d θ = 9 2 θ - 9 4 sin ⁡ 2 θ

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

Agora temos que voltar a variável original, para isso temos que escrever aquele sin ⁡ 2 θ em termos somente de θ , então temos que manipular essa expressão, vamos lá:

Primeiro temos que:

sin ⁡ 2 θ = 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ

Temos que:

cos ⁡ θ = 1 - sin 2 ⁡ θ

Logo:

sin ⁡ 2 θ = 2 sin ⁡ θ 1 - sin 2 ⁡ θ

Agora, lembrando que x = 3 sin ⁡ θ e consequentemente θ = sin - 1 ⁡ x 3

Então:

∫ x 2 9 - x 2 d x = 9 2 θ - 9 4 2 sin ⁡ θ 1 - sin 2 ⁡ θ

Aplicando a substituição...

∫ x 2 9 - x 2 d x = 9 2 sin - 1 ⁡ x 3 - 9 4 2 x 3 1 - x 2 9

∫ x 2 9 - x 2 d x = 9 2 sin - 1 ⁡ x 3 - 3 2 x 9 - x 2 9

E finalmente...

∫ x 2 9 - x 2 d x = 9 2 sin - 1 ⁡ x 3 - 1 2 x 9 - x 2

E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 🤔

Resposta

  ∫ x 2 9 - x 2 d x = 9 2 sin - 1 ⁡ x 3 - 1 2 x 9 - x 2

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