Calcule a integral.

33 .   ∫ 0 π 3 sin ⁡ x ln ⁡ cos ⁡ x d x

Passo 1

Primeiro para resolver essa integral, temos que mexer nela um pouco, para ela ficar com uma cara melhor e vamos fazer isso vamos fazer a seguinte substituição:

u = cos ⁡ x

d u = - sin ⁡ x d x

Com isso nossos limites de integração também mudam:

u 1 = cos ⁡ π 3 = 1 2

u 2 = cos ⁡ 0 = 1

Assim nossa integral fica:

∫ 1 1 2 - ln ⁡ u d u  

Agora precisamos integrar por partes, a fórmula para isso é a seguinte:

∫ f   d g = f g - ∫ g   d f

Temos para nossa integral que:

f = ln ⁡ ( u ) ,             d g = d u

d f = 1 u d u                 g = u

Passo 2

Nossa integral fica assim:

- ∫ 1 1 2 ln ⁡ u d u = - u ln ⁡ u 1 1 2 - ∫ 1 1 2 - u ⋅ 1 u   d u

= - 1 2 ln ⁡ 1 2 + ln ⁡ 1 + ∫ 1 1 2 d u

= - ln ⁡ 1 2 2 + ∫ 1 1 2 d u

Passo 3

Então ficamos com:

- ln ⁡ 1 2 2 + ∫ 1 1 2 d u

Continuando a integração temos:

- ln ⁡ 1 2 2 + u 1 1 2

= - ln ⁡ 1 2 2 + 1 2 - 1

= - ln ⁡ 1 2 2 - 1 2

Resposta

∫ 0 π 3 sin ⁡ x ln ⁡ cos ⁡ x d x = - ln ⁡ 1 2 2 - 1 2

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