Calcule a integral.

25 . ∫ x 2 3 + 2 x - x 2

Passo 1

Primeiro, antes de resolver a integral, vamos mexer no integrando, no caso:

3 + 2 x - x 2

Você concorda comigo que:

4 - x - 1 2 = 3 + 2 x - x 2

O que fizemos foi completar quadrado.

Nossa integral fica da seguinte maneira:

∫ x 2 4 - x - 1 2   d x

Passo 2

Agora vamos fazer uma substituição simples, só para integral ficar com uma cara conhecida, vamos fazer o seguinte:

u = x - 1

x = u + 1

d u = d x

Com isso nossa integral fica da seguinte maneira:

∫ ( u + 1 ) 2 4 - u 2   d u

Passo 3

Agora podemos fazer uma substituição trigonométrica, segundo a tabela no início da seção 3 , do tipo:

u = 2 sin ⁡ θ

θ = sin - 1 ⁡ u 2

d u = 2 cos ⁡ θ d θ

Realizando a substituição a nossa integral fica:

∫ ( 2 sin ⁡ θ + 1 ) 2 4 - ( 2 sin ⁡ θ ) 2   2 cos ⁡ θ d θ

= ∫ ( 2 sin ⁡ θ + 1 ) 2 4 - 4 sin 2 ⁡ θ   2 cos ⁡ θ d θ

= ∫ ( 2 sin ⁡ θ + 1 ) 2 2 1 - sin 2 ⁡ θ   2 cos ⁡ θ d θ

Lembrando que:

cos 2 ⁡ θ = 1 - sin 2 ⁡ θ

Logo, temos que:

4 ∫ 2 sin ⁡ θ + 1 2 cos 2 ⁡ θ   cos ⁡ θ d θ

= 4 ∫ 2 sin ⁡ θ + 1 2 cos 2 ⁡ θ d θ

Agora, lembrando mais uma vez que:

cos 2 ⁡ θ = 1 - sin 2 ⁡ θ

Então, temos que:

4 ∫ 2 sin ⁡ θ + 1 2 1 - sin 2 ⁡ θ   d θ

Passo 4

Do último passo ficamos com:

4 ∫ 2 sin ⁡ θ + 1 2 1 - sin 2 ⁡ θ   d θ

Agora, vamos abrir essas operações do integrando, logo:

4 ∫ ( 4 sin 2 ⁡ θ + 4 sin ⁡ θ + 1 ) 1 - sin 2 ⁡ θ   d θ

= 4 ∫ ( - 4 sin 4 ⁡ θ - 4 sin 3 ⁡ θ - sin 2 ⁡ θ + 4 sin 2 ⁡ θ + 4 sin ⁡ θ + 1 )   d θ

= 4 ∫ ( - 4 sin 4 ⁡ θ - 4 sin 3 ⁡ θ + 3 sin 2 ⁡ θ + 4 sin ⁡ θ + 1 )   d θ

Como no nosso integrando só tem somas, podemos separar essa integral em somas de integrais de cada termo, assim:

= 4 ∫ - 4 sin 4 ⁡ θ d θ + 4 ∫ - 4 sin 3 ⁡ θ   d θ + 4 ∫ 3 sin 2 ⁡ θ   d θ + 4 ∫ 4 sin ⁡ θ   d θ + 4 ∫ 1   d θ

= - 16 ∫ sin 4 ⁡ θ d θ - 16 ∫ sin 3 ⁡ θ   d θ + 12 ∫ sin 2 ⁡ θ   d θ + 16 ∫ sin ⁡ θ   d θ + 4 ∫ d θ

Olhando o que temos, podemos ver que as duas ultimas integrais são de boas de resolver, o problema é o resto.

Para isso, vamos usar uma fórmula que existe para resolver integral de senos com o expoente alto, ela não aparece no livro, mas se você pesquisar na internet sobre é fácil de encontrar, a fórmula é o seguinte:

∫ sin m ⁡ θ   d θ = - cos ⁡ θ sin m - 1 ⁡ θ m + m - 1 m ∫ sin - 2 + m ⁡ θ   d θ

Passo 5

Então vamos usar a fórmula, para a primeira integral, a do sin 4 ⁡ θ , logo m = 4 .

∫ sin 4 ⁡ θ   d θ = - cos ⁡ θ sin 4 - 1 ⁡ θ 4 + 4 - 1 4 ∫ sin - 2 + 4 ⁡ θ   d θ

= - cos ⁡ θ sin 3 ⁡ θ 4 + 3 4 ∫ sin 2 ⁡ θ   d θ

Substituindo na nossa sequência de integrais, ficamos com:

4 cos ⁡ θ sin 3 ⁡ θ - 12 ∫ sin 2 ⁡ θ   d θ - 16 ∫ sin 3 ⁡ θ   d θ + 12 ∫ sin 2 ⁡ θ   d θ + 16 ∫ sin ⁡ θ   d θ +

+ 4 ∫ d θ

Logo, ficamos com:

4 cos ⁡ θ sin 3 ⁡ θ - 16 ∫ sin 3 ⁡ θ   d θ + 16 ∫ sin ⁡ θ   d θ + 4 ∫ d θ

Passo 6

Agora, vamos usar a fórmula para a integral de sin 3 ⁡ θ , logo m = 3 .

∫ sin 3 ⁡ θ   d θ = - cos ⁡ θ sin 3 - 1 ⁡ θ 3 + 3 - 1 3 ∫ sin - 2 + 3 ⁡ θ   d θ

= ∫ sin 3 ⁡ θ   d θ = - cos ⁡ θ sin 2 ⁡ θ 3 + 2 3 ∫ sin ⁡ θ   d θ

Substituindo na nossa sequência de integrais, ficamos com:

4 cos ⁡ θ sin 3 ⁡ θ + 16 3 cos ⁡ θ sin 2 ⁡ θ - 32 3 ∫ sin ⁡ θ   d θ + 16 ∫ sin ⁡ θ   d θ + 4 ∫ d θ

= 4 cos ⁡ θ sin 3 ⁡ θ + 16 3 cos ⁡ θ sin 2 ⁡ θ + 16 3 ∫ sin ⁡ θ   d θ + 4 ∫ d θ

Agora só temos integrais tranquilas para se resolver.

Passo 7

Então, temos:

4 cos ⁡ θ sin 3 ⁡ θ + 16 3 cos ⁡ θ sin 2 ⁡ θ + 16 3 ∫ sin ⁡ θ   d θ + 4 ∫ d θ

Realizando a integração, ficamos com:

4 cos ⁡ θ sin 3 ⁡ θ + 16 3 cos ⁡ θ sin 2 ⁡ θ - 16 3 cos ⁡ θ + 4 θ

Agora, precisamos voltar com as substituições feitas para acharmos o resultado na variável original.

Passo 8

Vamos começar a voltar então, temos que:

θ = sin - 1 ⁡ u 2

⇒ 4 cos ⁡ sin - 1 ⁡ u 2 sin 3 ⁡ sin - 1 ⁡ u 2 + 16 3 cos ⁡ sin - 1 ⁡ u 2 sin 2 ⁡ sin - 1 ⁡ u 2 -

- 16 3 cos ⁡ sin - 1 ⁡ u 2 + 4 sin - 1 ⁡ u 2

Para continuar vamos notar que:

sin ⁡ sin - 1 ⁡ u 2 = u 2

Já que uma é função inversa da outra.

E lembrando também que:

c os ⁡ sin - 1 ⁡ z = 1 - z 2

Logo temos que nosso resultado fica da seguinte maneira:

4 1 - u 2 4 u 3 8 + 16 3 1 - u 2 4 u 2 4 - 16 3 1 - u 2 4 + 4 sin - 1 ⁡ u 2

= u 3 2 4 - u 2 4 + 4 3 u 2 4 - u 2 4 - 16 3 4 - u 2 4 + 4 sin - 1 ⁡ u 2

= u 3 4 4 - u 2 + 2 3 u 2 4 - u 2 - 8 3 4 - u 2 + 4 sin - 1 ⁡ u 2

Agora, voltando mais uma substituição, temos que:

u = x - 1

⇒ ( x - 1 ) 3 4 4 - ( x - 1 ) 2 + 2 3 ( x - 1 ) 2 4 - ( x - 1 ) 2 - 8 3 4 - ( x - 1 ) 2 + 4 sin - 1 ⁡ x - 1 2

= 4 - x - 1 2 1 4 x - 1 3 + 2 3 x - 1 2 - 8 3 + 4 sin - 1 ⁡ x - 1 2

Resposta

∫ x 2 3 + 2 x - x 2 = 4 - x - 1 2 1 4 x - 1 3 + 2 3 x - 1 2 - 8 3 + 4 sin - 1 ⁡ x - 1 2

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