Enunciado

Um container para estocagem retangular com uma tampa aberta deve ter um volume de 10   m 3 . O Comprimento da base é o dobro da largura. O material para a base custa $ 10 por metro quadrado. O material para os lados custa $ 6 por metro quadrado. Encontre o custo dos materiais para o mais barato desses contêineres.

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar o custo dos materiais para o mais baratos dos contêineres, sabendo que um container para estocagem retangular com uma tampa aberta deve ter um volume de 10   m 3 e o comprimento da base é o dobro da largura.

Além disso, o enunciado nos diz que o material para a base custa $ 10 por metro quadrado e o material para os lados custa $ 6 por metro quadrado.

Usando essas informações vamos definir o volume do contêiner e relacioná-lo com o custo total do contêiner. A partir disso, vamos encontrar o menor custo possível através dos pontos críticos dessa expressão.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar desenhando nosso contêiner:

Com isso a gente já consegue ver que o volume do contêiner é:

V = 2 w ⋅ w ⋅ h = 10

2 w 2 h = 10

Mas precisamos calcular a custo total do contêiner, que é a soma do custo da base com o da área lateral. Então, para a custo da área da base, teremos:

C b = 10 ⋅ 2 w ⋅ w

C b = 20 w 2

E para o custo da área lateral, temos:

C L = 6 2 2 w ⋅ h + 2 w ⋅ h

C L = 6 4 w h + 2 w h

C L = 24 w h + 12 w h

C L = 36 w h

Então, nosso custo total será dado pela soma de C b e C L , ou seja:

C = 20 w 2 + 36 w h

Passo 3

Da equação do volume no passo 2 , podemos escrever:

h = 5 w 2

Substituindo na equação do custo, ficamos com:

C = 20 w 2 + 36 w ⋅ 5 w 2

C = 20 w 2 + 180 w

Tirando o MMC:

C = 20 w 3 + 180 w

Passo 4

Agora vamos encontrar os pontos críticos da nossa equação. Primeiro, derivando C = 20 w 3 + 180 w , usando a regra do quociente, temos:

C ' = 60 w 3 - 20 w 3 - 180 w 2

C ' = 40 w 3 - 180 w 2

Agora igualando esse resultado a zero, vamos ter:

40 w 3 - 180 w 2 = 0

40 w 3 - 180 = 0

E isolando w :

40 w 3 = 180

w 3 = 4,5

w ≈ 1,65   m

Então, substituindo esse resultado em h = 5 w 2 , encontramos nossa altura:

h = 5 1,65 2

h ≈ 1,84   m

Passo 5

Agora que temos as dimensões mínimas, só falta calcular o custo mínimo. Pra isso, vamos substituir os resultados que encontramos para h e w na equação do custo:

C = 20 w 2 + 36 w h

C = 20 1,65 2 + 36 1,65 1,84

E calculando, temos:

C = 54,45 + 109,30

C = 163,75

Logo, o menor custo possível para esse contêiner será de $ 163,75 .

Obs: Note que o valor pode resultar em algo ligeiramente diferente por conta de arredondamentos.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

O menor custo possível para esse contêiner será de $ 163,75

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