Calcule a integral.

∫ 1 2 x 4 ln ⁡ x 2   d x

Passo 1

Opa, nossa questão é super direta! Temos que calcular a seguinte integral:

∫ 1 2 x 4 ln ⁡ x 2   d x

Pra isso vamos usar integração por partes! Relembrando a técnica, temos que:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Antes de tentarmos usar partes para resolver a integral, vamos fazer a mudança de variável t = ln ⁡ x . Assim,

d t = 1 x d x ⇒ d x = x   d t

Além disso, se t = ln ⁡ x , então x = e t . Desta forma, d x = e t d t . Assim, a integral fica

∫ 1 2 x 4 ln ⁡ x 2   d x = ∫ 0 ln ⁡ 2 t 2 e 5 t   d t

Passo 2

Agora usaremos partes, seguindo essa ordem de prioridade aqui:

Então escolhemos: u = t 2 e d v = e 5 t d t , de modo que d u = 2 t   d t e v = 1 5 e 5 t . Assim,

∫ 0 ln ⁡ 2 t 2 e 5 t   d t = 1 5 t 2 e 5 t 0 ln ⁡ 2 - 2 5 ∫ 0 ln ⁡ 2 t   e 5 t

Como e 5 ln ⁡ 2 = e ln ⁡ 2 5 = 2 5 = 32 , segue que

∫ 0 ln ⁡ 2 t 2 e 5 t   d t = 32 5 ln ⁡ 2 2 - 2 5 ∫ 0 ln ⁡ 2 t   e 5 t

Passo 3

Vamos calcular a integral que sobrou usando partes (sim, isso é muito chato mesmo) fazendo u = t e d v = e 5 t d t . Assim, d u = d t e v = 1 5 e 5 t . Desta forma,

∫ 0 ln ⁡ 2 t   e 5 t = 1 5 t e 5 t 0 ln ⁡ 2 - 1 5 ∫ 0 ln ⁡ 2 e 5 t d t = 32 5 ln ⁡ 2 - 1 25 e 5 t 0 ln ⁡ 2 = 32 5 ln ⁡ 2 - 32 25 + 1 25

Assim,

∫ 0 ln ⁡ 2 t   e 5 t = 32 5 ln ⁡ 2 - 31 25

Passo 4

Por fim, voltando a integral original:

∫ 1 2 x 4 ln ⁡ x 2   d x = ∫ 0 ln ⁡ 2 t 2 e 5 t   d t = 32 5 ln ⁡ 2 2 - 2 5 32 5 ln ⁡ 2 - 31 25

Assim,

∫ 1 2 x 4 ln ⁡ x 2   d x = 32 5 ln ⁡ 2 2 - 64 25 ln ⁡ 2 + 62 125

Resposta

32 5 ln ⁡ 2 2 - 64 25 ln ⁡ 2 + 62 125

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