Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.5 - Ex. 9
Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.
Passo 1
Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.
A questão pede para usarmos a roteiro apresentado na seção do livro para fazer um esboço da curva. Assim, precisamos encontrar o domínio da função, interseção com eixos, limites no infinito, intervalos de crescimento, pontos críticos, fazer um estuda da concavidade e qualquer outra consideração que ajude a entender bem o comportamento da função.
Passo 2
Como o denominador não pode se anular, devemos ter . Assim, . Desta forma, o domínio da função
Passo 3
Para a interseção com o eixo , fazemos , de modo que . Assim, a curva corta o eixo das ordenadas em .
Já para a interseção com eixo , fazemos e encontramos assim que . Desta forma, a única interseção com eixos que a curva apresenta é na origem .
Passo 4
Vamos ver se a função é par ou ímpar. Trocando por :
Assim, a função não é nem par nem ímpar!
Passo 5
Vamos agora procurar possíveis assíntotas. Para indo para :
Assim, tanto para como para , a reta é assíntota horizontal da função.
Como não está no domínio da função, vamos ver se a função tem assíntota vertical nele. Fazendo os limites laterais:
Desta forma, a reta é assíntota vertical.
Passo 6
Vamos estudar agora os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Calculando a primeira derivada:
Como no domínio da função, , de modo que a curva é sempre descrescente. Além disso, como , a curva não tem pontos críticos.
Passo 7
Por fim, vamos analisar a concavidade da curva. Fazendo a segunda derivada:
Como o expoente é ímpar, o denominador pode ser tanto positivo como negativo:
A curva não tem pontos de inflexão por não está em seu domínio.
O esboço da curva:
Resposta
O esboço da curva: