Enunciado

Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.

y = (x)/(x - 1)

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

A questão pede para usarmos a roteiro apresentado na seção do livro para fazer um esboço da curva. Assim, precisamos encontrar o domínio da função, interseção com eixos, limites no infinito, intervalos de crescimento, pontos críticos, fazer um estuda da concavidade e qualquer outra consideração que ajude a entender bem o comportamento da função.

Passo 2

Como o denominador não pode se anular, devemos ter x - 1 != 0 . Assim, x != 1 . Desta forma, o domínio da função

D_f = R - { 1 }

Passo 3

Para a interseção com o eixo y , fazemos x = 0 , de modo que y = (0)/(- 1) = 0 . Assim, a curva corta o eixo das ordenadas em ( 0,0 ) .

Já para a interseção com eixo x , fazemos y = 0 e encontramos assim que x = 0 . Desta forma, a única interseção com eixos que a curva apresenta é na origem ( 0,0 ) .

Passo 4

Vamos ver se a função é par ou ímpar. Trocando x por - x :

f (- x) = (- x)/(- x - 1) = (- x)/(- ( x + 1 )) = (x)/(x + 1) != +- f ( x )

Assim, a função não é nem par nem ímpar!

Passo 5

Vamos agora procurar possíveis assíntotas. Para x indo para +- oo :

underset(x -> - oo)(lim) (x)/(x - 1) = underset(x -> + oo)(lim) (x)/(x - 1) = 1

Assim, tanto para - oo como para + oo , a reta y = 1 é assíntota horizontal da função.

Como x = 1 não está no domínio da função, vamos ver se a função tem assíntota vertical nele. Fazendo os limites laterais:

underset(x -> 1^-)(lim) (x)/(x - 1) = (1)/(0^-) = - oo

underset(x -> 1^+)(lim) (x)/(x - 1) = (1)/(0^+) = + oo

Desta forma, a reta x = 1 é assíntota vertical.

Passo 6

Vamos estudar agora os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Calculando a primeira derivada:

y^' = (1 * (x - 1) - x * 1)/((x - 1)^2) = - (1)/((x - 1)^2)

Como (x - 1)^2 > 0 no domínio da função, y^' < 0 , de modo que a curva é sempre descrescente. Além disso, como y^' != 0 , a curva não tem pontos críticos.

Passo 7

Por fim, vamos analisar a concavidade da curva. Fazendo a segunda derivada:

y^(' ') = (- (x - 1)^(- 2))^' = 2 (x - 1)^(- 3) * 1 = (2)/((x - 1)^3)

Como o expoente é ímpar, o denominador pode ser tanto positivo como negativo:

A curva não tem pontos de inflexão por x = 1 não está em seu domínio.

O esboço da curva:

Resposta

O esboço da curva:

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