Calcule a integral.

∫ e 2 θ sen ⁡ 3 θ   d θ

Passo 1

Opa! Queremos calcular a seguinte integral:

∫ e 2 θ sen ⁡ 3 θ   d θ

Para isso, devemos utilizar a integração por partes, porque o integrando é um produto de 2 funções.

A integração por partes é dada da seguinte forma:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Pessoal, vamos lembrar as prioridades para a substituição de u . Usamos seguimos a ordem do famoso principio LIATE, que quer dizer:

Neste exercício, temos uma parte exponencial e uma trigonométrica. Então, por LIATE, vamos usar a trigonométrica para o valor de u :

Diremos que

u = sem ⁡ 3 θ

d v = e 2 θ d θ

Agora vamos derivar u e integrar d v , pra encontrar os termos d u e v que aparecem na fórmula.

d u = 3 cos ⁡ 3 θ   d θ

v = 1 2 e 2 θ

Agora vamos aplicar!!

Passo 2

Sendo assim, aplicando a integração por partes, temos:

I = ∫ e 2 θ sen ⁡ 3 θ   d θ = 1 2 e 2 θ sen ⁡ 3 θ - 3 2 ∫ e 2 θ cos ⁡ 3 θ   d θ

Após isso, fazemos novamente a integração por partes (para resolver a integral que nos restou):

U = cos ⁡ 3 θ ,   d V = e 2 θ d θ → d U = - 3 sen ⁡ 3 θ   d θ ,   V = 1 2 e 2 θ

Para termos

∫ e 2 θ cos ⁡ 3 θ   d θ = 1 2 e 2 θ cos ⁡ 3 θ + 3 2 ∫ e 2 θ sen ⁡ 3 θ   d θ

Passo 3

Substituindo na fórmula anterior:

I = 1 2 e 2 θ sen ⁡ 3 θ - 3 4 e 2 θ cos ⁡ 3 θ - 9 4 ∫ e 2 θ sen ⁡ 3 θ   d θ ∴

Perceba que I = ∫ e 2 θ sen ⁡ 3 θ   d θ , portanto:

I = 1 2 e 2 θ sen ⁡ 3 θ - 3 4 e 2 θ cos ⁡ 3 θ - 9 4 I ∴

13 4 I = 1 2 e 2 θ sen ⁡ 3 θ - 3 4 e 2 θ cos ⁡ 3 θ + C 1

Consequentemente, isolando I :

I = 1 13 e 2 θ 2 sen ⁡ 3 θ - 3 cos ⁡ 3 θ + C

Onde C = 4 13 C 1 .

Prontinho!

Resposta

1 13 e 2 θ 2 sen ⁡ 3 θ - 3 cos ⁡ 3 θ + C .

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