Calcule a integral:

∫ ln ⁡ ( 2 x + 1 ) d x

Passo 1

Pessoal, essa questão é resolvida pelo método de integração por partes, mas analisando essa integral indefinida nós NÃO vemos um produto de funções. Como fazer então? Temos um macetinho para fazer aparecer, vejam só:

∫ ln ⁡ ( 2 x + 1 ) ⋅ 1 d x = ∫ ln ⁡ ( 2 x + 1 ) ⋅ x 0 d x

Agora temos um produto de um polinômio com um logaritmo!! Vamos usar então a fórmula da integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Precisamos chamar uma parte da integral de u e outra de d v . Chamamos de d v a parte mais fácil de integrar e u a mais fácil de derivar! No nosso caso, u será a função logarítmica. Teremos então:

d v = 1 d x v =   ? u = ln ⁡ ( 2 x + 1 ) d u =   ?

Aqui nós podemos usar o macete LIATE para escolher u na seguinte ordem: Logarítmica, Inversa Trigonométrica, Álgebrica ou (polinomial), Trigonométrica e Exponencial.

Passo 2

Agora nós precisamos achar v , integrando d v e achar d u derivando u . Ficando com:

d v = 1 d x v = ∫ 1 d x = x + C u = ln ⁡ ( 2 x + 1 ) d u = 2 2 x + 1 d x = 1 x + 1 2 d x

Devemos lembrar que ln ⁡ h ' = h ' h .

Passo 3

Agora substituímos tudo na fórmula da integração por partes. Obs: não precisamos colocar a constante C de v na fórmula.

∫ ln ⁡ ( 2 x + 1 ) ⏟ u 1 d x ⏟ d v = ln ⁡ ( 2 x + 1 ) ⏟ u x ⏟ v - ∫ x ⏟ v 1 x + 1 2 d x ⏟ d u

∫ ln ⁡ 2 x + 1 d x = x ln ⁡ ( 2 x + 1 ) - ∫ x x + 1 2 d x

Passo 4

Vamos resolver a integral:

∫ x x + 1 2 d x = ∫ x + 1 2 - 1 2 x + 1 2 d x = ∫ x + 1 2 x + 1 2 d x - ∫ 1 2 x + 1 2 d x

= ∫ 1 d x - 1 2 ∫ d x x + 1 2 = x - 1 2 ln ⁡ x + 1 2 + C

Aqui foi usada a integral ∫ d x x ± a = ln ⁡ x ± a + C .

Passo 5

Agora substituímos o resultado achado.

∫ ln ⁡ 2 x + 1 d x = x ln ⁡ ( 2 x + 1 ) - ∫ x x + 1 2 d x = x ln ⁡ 2 x + 1 - x - 1 2 ln ⁡ x + 1 2 + C

∫ ln ⁡ 2 x + 1 d x = x ln ⁡ 2 x + 1 - x + 1 2 ln ⁡ x + 1 2 + C

Não pode esquecer da constante, hein.

Resposta

∫ ln ⁡ 2 x + 1 d x = x ln ⁡ 2 x + 1 - x + 1 2 ln ⁡ x + 1 2 + C

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