10. Calcule a integral.

∫ 1 t + 4 t - 1 d t

Passo 1

Vamos lá galerinha, esse aqui já veio bonitinho pra gente, as funções já estão separadas, só precisamos encontrar os coeficientes para realizar a integração:

∫ 1 t + 4 t - 1 d t = ∫ A t + 4 + B t - 1 d t

A t + 4 + B t - 1 = A t - 1 + B t + 4 t + 4 t - 1 = 1 t + 4 t - 1

Logo:

A t + B t = t ( A + B ) = 0 t

4 B - A = 1

A + B = 0 4 B - A = 1

B = 1 5 ,     A = - 1 5

Passo 2

Dessa forma, podemos reescrever nossa integral da seguinte maneira:

∫ 1 t + 4 t - 1 d t = ∫ A t + 4 + B t - 1 d t = ∫ - 1 5 . 1 t + 4 + 1 5 . 1 t - 1 d t

= - 1 5 ln ⁡ t + 4 + 1 5 ln ⁡ t - 1 = 1 5 ln ⁡ t - 1 - ln ⁡ t + 4 = 1 5 ln ⁡ t - 1 t + 4

∫ 1 t + 4 t - 1 d t = 1 5 ln ⁡ t - 1 t + 4 + C

Resposta

Portanto, temos que:

∫ 1 t + 4 t - 1 d t = 1 5 ln ⁡ t - 1 t + 4 + C

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