Avalie a integral.

∫ d t t 2 - 1 2

Passo 1

Para essa resolução podemos reescrever como:

∫ d t t 2 - 1 2 = ∫ d t t + 1 2 t - 1 2

Podemos aplicar o método das frações parciais!!

Passo 2

Para essa resolução usamos um dos métodos referente a frações parciais:

d t t + 1 2 t - 1 2 = A t + 1 + B t + 1 2 + C t - 1 + D t - 1 2

Multiplicando tudo por t + 1 2 t - 1 2 , temos:

1 = A t + 1 t - 1 2 + B t - 1 2 + C t - 1 t + 1 2 + D t + 1 2

Resolvendo isso podemos jogar valores para x e acharmos os termos:

  • t = 1
  • 1 = D 1 + 1 2

    1 = D ( 4 )

    D = 1 4

  • t = - 1
  • 1 = B - 1 - 1 2

    B = 1 4

  • t = 0
  • 1 = A 0 + 1 0 - 1 2 + 1 4 0 - 1 2 + C 0 - 1 0 + 1 2 + 1 4 0 + 1 2

    1 = A + 1 4 - C + 1 4

    A - C = 1 2

  • t = 2

1 = A 2 + 1 2 - 1 2 + 1 4 2 - 1 2 + C 2 - 1 2 + 1 2 + 1 4 2 + 1 2

A + 3 C = - 1 2

Resolvendo o sistema e multiplicando a primeira por ( - 1 ) :

- A + C = - 1 2

A + 3 C = - 1 2

Logo, A = 1 4 e C = - 1 4 .

Substituindo, temos:

d t t + 1 2 t - 1 2 = 1 4 ( t + 1 ) + 1 4 t + 1 2 - 1 4 ( t - 1 ) + 1 4 t - 1 2

Passo 3

Agora, aplicamos a integração:

∫ d t t 2 - 1 2 = ∫ 1 4 ( t + 1 ) + 1 4 t + 1 2 - 1 4 ( t - 1 ) + 1 4 t - 1 2 d t

Usamos a substituição u = t + 1 e d u = d t para as duas primeiras integrais e u = t - 1 e d u = d t . Fazemos:

∫ d t t 2 - 1 2 = 1 4 ∫ 1 ( u ) + 1 u 2 - 1 ( u ) + 1 u 2 d u

= 1 4 ∫ 1 ( u ) + 1 u 2 - 1 ( u ) + 1 u 2 d u

Integrando e substituindo o valor de u :

= 1 4 ln ⁡ | t + 1 | - 1 4 t + 1 - 1 4 ln ⁡ t - 1 - 1 4 t - 1 + C

Prontinho!!

Resposta

∫ d t t 2 - 1 2 = 1 4 ln ⁡ | t + 1 | - 1 4 t + 1 - 1 4 ln ⁡ t - 1 - 1 4 t - 1 + C

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