Enunciado

Calcule a integral.

int (d x)/(x + x sqrt(x))

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: a expressão já tá simplificada, vamos então tentar fazer uma Substituição. Temos uma raiz no denominador, podemos tentar fazer com que u seja essa raiz, vamos lá:

Vamos fazer a mudança de variável:

u = sqrt(x) -> u^2 = x

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

2 u d u = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int (d x)/(x + x sqrt(x)) = int (2 u)/(u^2 + u^2 . u) d u = int (2)/(u (1 + u)) d u

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Passo 2

Poxa, não deu em nada, não dá para simplificar nada com o numerador, então vamos usar Frações Parciais:

(2)/(u (1 + u)) = (A)/(u) + (B)/(1 + u)

Vamos achar os valores de A e B , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores u (1 + u) :

2 = A (1 + u) + B u = A + A u + B u = u (A + B) + A

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de u de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

{[[A + B = 0],[A = 2]])

Isolando B na primeira, ficamos com:

B = - A = - 2

Pronto, achamos os valores de A e B , vamos agora substituir de volta na integral:

int (2)/(u (1 + u)) d u = int (2)/(u) + (- 2)/(1 + u) d u = int (2)/(u) d u + int (- 2)/(1 + u) d u

Passo 3

Vamos resolver as duas integrais separadamente, para a primeira é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Vamos agora fazer a substituição:

int (2)/(u) d u = 2 int (1)/(u) d u = 2 ln |u| + C

Passo 4

Para a segunda vamos fazer uma Substituição:

v = 1 + u

Derivando:

d v = d u

Substituindo temos:

int (- 2)/(1 + u) d u = int (- 2)/(v) d v

É fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Vamos agora fazer a substituição:

int (- 2)/(v) d v = - 2 int (1)/(v) d v = - 2 ln |v| + C

Passo 5

Juntando tudo agora:

int (2)/(u) d u + int (- 2)/(1 + u) d u = 2 ln |u| - 2 ln |v| + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int (d x)/(x + x sqrt(x)) = 2 ln |u| - 2 ln |v| + C = 2 ln |sqrt(x)| - 2 ln |sqrt(x) + 1| + C

Como as expressões nos módulos não assumem valores negativos podemos tirá-los:

int (d x)/(x + x sqrt(x)) = 2 ln sqrt(x) - 2 ln (sqrt(x) + 1) + C

Resposta

int (d x)/(x + x sqrt(x)) = 2 ln sqrt(x) - 2 ln (sqrt(x) + 1) + C

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