Calcule a integral.

∫ d x x + x x

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: a expressão já tá simplificada, vamos então tentar fazer uma Substituição. Temos uma raiz no denominador, podemos tentar fazer com que u seja essa raiz, vamos lá:

Vamos fazer a mudança de variável:

u = x → u 2 = x

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

2 u d u =   d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ d x x + x x = ∫ 2 u u 2 + u 2 . u d u = ∫ 2 u 1 + u d u

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Passo 2

Poxa, não deu em nada, não dá para simplificar nada com o numerador, então vamos usar Frações Parciais:

2 u 1 + u = A u + B 1 + u

Vamos achar os valores de A e B , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores u 1 + u :

2 = A 1 + u + B u = A + A u + B u = u A + B + A

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de u de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

A + B = 0 A = 2

Isolando B na primeira, ficamos com:

B = - A = - 2

Pronto, achamos os valores de A e B , vamos agora substituir de volta na integral:

∫ 2 u 1 + u d u = ∫ 2 u + - 2 1 + u d u = ∫ 2 u d u + ∫ - 2 1 + u d u

Passo 3

Vamos resolver as duas integrais separadamente, para a primeira é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Vamos agora fazer a substituição:

∫ 2 u d u = 2 ∫ 1 u d u = 2 ln ⁡ u + C

Passo 4

Para a segunda vamos fazer uma Substituição:

v = 1 + u

Derivando:

d v =   d u

Substituindo temos:

∫ - 2 1 + u d u = ∫ - 2 v d v

É fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Vamos agora fazer a substituição:

∫ - 2 v d v = - 2 ∫ 1 v d v = - 2 ln ⁡ v + C

Passo 5

Juntando tudo agora:

∫ 2 u d u + ∫ - 2 1 + u d u = 2 ln ⁡ u - 2 ln ⁡ v + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ d x x + x x = 2 ln ⁡ u - 2 ln ⁡ v + C = 2 ln ⁡ x - 2 ln ⁡ x + 1 + C

Como as expressões nos módulos não assumem valores negativos podemos tirá-los:

∫ d x x + x x = 2 ln ⁡ x - 2 ln ⁡ x + 1 + C

Resposta

∫ d x x + x x = 2 ln ⁡ x - 2 ln ⁡ x + 1 + C

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