Calcule a integral.

∫ x 3 + x 2 + 2 x + 1 x 2 + 1 ( x 2 + 2 )   d x

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a integral indefinida da função f x = x 3 + x 2 + 2 x + 1 x 2 + 1 ( x 2 + 2 ) .

Como a gente tem uma fração que tem o grau do numerador menor do que o grau no denominador, nós podemos recorrer às frações parciais.

Dessa forma, podemos fazer a decomposição dessa fração diretamente, em duas ou mais frações que sejam mais fáceis de integrar. Nesse caso, vamos separar essas frações assim:

x 3 + x 2 + 2 x + 1 x 2 + 1 ( x 2 + 2 ) = A x + B x 2 + 1 + C x + D x 2 + 2

A partir daí, nós vamos tirar o M.M.C das frações do lado direito da igualdade, e igualar os coeficientes dos termos de mesma potência para encontrar os valores de A , B , C e D . Em seguida, vamos substituir os valores dos coeficientes encontrados na integral e calculá-la.

Vamos lá!

Passo 2

Conforme vimos no passo 1 , decompondo a nossa fra��ão em frações parciais, temos:

x 3 + x 2 + 2 x + 1 x 2 + 1 ( x 2 + 2 ) = A x + B x 2 + 1 + C x + D x 2 + 2

Agora tirando M.M.C do lado direto da equação:

x 3 + x 2 + 2 x + 1 x 2 + 1 ( x 2 + 2 ) = A x + B x 2 + 2 + ( C x + D ) ( x 2 + 1 ) x 2 + 1 ( x 2 + 2 )

E simplificando os denominadores:

A + C x 3 + B + D x 2 + 2 A + C x + ( 2 B + D ) = x 3 + x 2 + 2 x + 1

Assim, comparando os coeficientes de mesma potência, vamos obter dois sistemas para resolver:

A + C = 1 2 A + C = 2             e                 B + D = 1 2 B + D = 1

Resolvendo o primeiro sistema, chegamos a A = 1 e C = 0 . Já no segundo, obtemos B = 0 e D = 1 . Assim,

x 3 + x 2 + 2 x + 1 x 2 + 1 ( x 2 + 2 ) = x x 2 + 1 + 1 x 2 + 2

Passo 3

Agora podemos calcular a integral, substituindo o resultado obtido no passo anterior:

∫ x 3 + x 2 + 2 x + 1 x 2 + 1 ( x 2 + 2 )   d x = ∫ x x 2 + 1 d x + ∫ 1 x 2 + 2   d x

A primeira integral é calculada fazendo u = x 2 + 1 ⇒ d u = 2 x d x :

∫ x x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ 1 u d u

Integrando:

= 1 2 ln ⁡ u

E voltando à variável x :

= 1 2 ln ⁡ ( x 2 + 1 )

Já a segunda integral é simplificada fazendo-se x = 2 t ⇒ d x = 2   d t . Assim:

∫ 1 x 2 + 2   d x = ∫ 1 2 t 2 + 2   2 d t

= 2 2 ∫ 1 t 2 + 1 d t

Integrando, temos:

= 1 2 a r c t g   t

E voltando à variável x original:

= 1 2 a r c c t g x 2

Passo 4

Desta forma, juntando os dois resultados obtidos no passo anterior, vamos ter:

∫ x 3 + x 2 + 2 x + 1 x 2 + 1 ( x 2 + 2 )   d x = 1 2 ln ⁡ ( x 2 + 1 ) + 1 2 a r c c t g x 2 + C

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

1 2 ln ⁡ ( x 2 + 1 ) + 1 2 a r c c t g x 2 + C

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