Enunciado

Calcule a integral.

int (x^3 + x^2 + 2 x + 1)/((x^2 + 1) ( x^2 + 2 )) d x

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a integral indefinida da função f (x) = (x^3 + x^2 + 2 x + 1)/((x^2 + 1) ( x^2 + 2 )) .

Como a gente tem uma fração que tem o grau do numerador menor do que o grau no denominador, nós podemos recorrer às frações parciais.

Dessa forma, podemos fazer a decomposição dessa fração diretamente, em duas ou mais frações que sejam mais fáceis de integrar. Nesse caso, vamos separar essas frações assim:

(x^3 + x^2 + 2 x + 1)/((x^2 + 1) ( x^2 + 2 )) = (A x + B)/(x^2 + 1) + (C x + D)/(x^2 + 2)

A partir daí, nós vamos tirar o M.M.C das frações do lado direito da igualdade, e igualar os coeficientes dos termos de mesma potência para encontrar os valores de A , B , C e D . Em seguida, vamos substituir os valores dos coeficientes encontrados na integral e calculá-la.

Vamos lá!

Passo 2

Conforme vimos no passo 1 , decompondo a nossa fra��ão em frações parciais, temos:

(x^3 + x^2 + 2 x + 1)/((x^2 + 1) ( x^2 + 2 )) = (A x + B)/(x^2 + 1) + (C x + D)/(x^2 + 2)

Agora tirando M.M.C do lado direto da equação:

(x^3 + x^2 + 2 x + 1)/((x^2 + 1) ( x^2 + 2 )) = ((A x + B) (x^2 + 2) + ( C x + D ) ( x^2 + 1 ))/((x^2 + 1) ( x^2 + 2 ))

E simplificando os denominadores:

(A + C) x^3 + (B + D) x^2 + (2 A + C) x + ( 2 B + D ) = x^3 + x^2 + 2 x + 1

Assim, comparando os coeficientes de mesma potência, vamos obter dois sistemas para resolver:

{[[A + C = 1],[2 A + C = 2]]) e {[[B + D = 1],[2 B + D = 1]])

Resolvendo o primeiro sistema, chegamos a A = 1 e C = 0 . Já no segundo, obtemos B = 0 e D = 1 . Assim,

(x^3 + x^2 + 2 x + 1)/((x^2 + 1) ( x^2 + 2 )) = (x)/(x^2 + 1) + (1)/(x^2 + 2)

Passo 3

Agora podemos calcular a integral, substituindo o resultado obtido no passo anterior:

int (x^3 + x^2 + 2 x + 1)/((x^2 + 1) ( x^2 + 2 )) d x = int (x)/(x^2 + 1) d x + int (1)/(x^2 + 2) d x

A primeira integral é calculada fazendo u = x^2 + 1 => d u = 2 x d x :

int (x)/(x^2 + 1) d x = (1)/(2) int (1)/(u) d u

Integrando:

= (1)/(2) ln |u|

E voltando à variável x :

= (1)/(2) ln ( x^2 + 1 )

Já a segunda integral é simplificada fazendo-se x = sqrt(2) t => d x = sqrt(2) d t . Assim:

int (1)/(x^2 + 2) d x = int (1)/(2 t^2 + 2) sqrt(2) d t

= (sqrt(2))/(2) int (1)/(t^2 + 1) d t

Integrando, temos:

= (1)/(sqrt(2)) a r c t g t

E voltando à variável x original:

= (1)/(sqrt(2)) a r c c t g ((x)/(sqrt(2)))

Passo 4

Desta forma, juntando os dois resultados obtidos no passo anterior, vamos ter:

int (x^3 + x^2 + 2 x + 1)/((x^2 + 1) ( x^2 + 2 )) d x = (1)/(2) ln ( x^2 + 1 ) + (1)/(sqrt(2)) a r c c t g ((x)/(sqrt(2))) + C

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

(1)/(2) ln ( x^2 + 1 ) + (1)/(sqrt(2)) a r c c t g ((x)/(sqrt(2))) + C

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