Calcule a integral.

∫ x + sen ⁡ x 2 d x

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: vamos manipular um pouco a expressão, resolvendo a expressão elevada ao quadrado:

∫ x + sen ⁡ x 2 d x = ∫ x 2 + 2 x sen ⁡ x + sen 2 ⁡ x d x = ∫ x 2 d x + ∫ 2 x sen ⁡ x d x + ∫ sen 2 ⁡ x d x

A primeira é simples de resolver, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Assim:

∫ x 2 d x = x 3 3 + C

Passo 2

Para calcular a segunda vamos então tentar fazer por partes:

∫ f x g ' x d x = f x g x - ∫ g x f ' x   d x

Vamos fazer então f x = 2 x e g ' x = sen ⁡ x d x :

f ' x = 2 d x e g x = - cos ⁡ x

Vamos substituir agora:

∫ 2 x sen ⁡ x d x = - 2 x c o s   x - ∫ - 2 cos ⁡ x   d x = - 2 x c o s   x + ∫ 2 cos ⁡ x   d x = - 2 x c o s   x + 2 sen ⁡ x + C

Passo 3

Para achar a terceira vamos manipular primeiro:

∫ sen 2 ⁡ x d x = ∫ 1 - cos ⁡ 2 x 2 d x = ∫ 1 2 d x + ∫ - cos ⁡ 2 x 2 d x

É fácil achar a primitiva da função da primeira, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ k d x = k x + C

Então ficamos com:

∫ 1 2 d x = 1 2 x + C

Com a segunda vamos fazer uma Substituição, vamos fazer a mudança de variável:

u = 2 x

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

d u = 2 d x → d x = d u 2

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ - cos ⁡ 2 x 2 d x = ∫ - cos ⁡ u 4 d u

Aqui vamos usar duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ cos ⁡ x d x = sen ⁡ x + C

Aplicando:

∫ - cos ⁡ u 4 d u = - 1 4 ∫ cos ⁡ u d u = - sen ⁡ u 4 + C

Passo 4

Vamos juntar as duas agora:

∫ sen 2 ⁡ x d x = ∫ 1 2 d x + ∫ - cos ⁡ 2 x 2 d x = 1 2 x - sen ⁡ u 4 + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ sen 2 ⁡ x d x = 1 2 x - sen ⁡ u 4 + C = 1 2 x - sen ⁡ 2 x 4 + C

Passo 5

Vamos voltar a expressão original agora:

∫ x + sen ⁡ x 2 d x = ∫ x 2 d x + ∫ 2 x sen ⁡ x d x + ∫ sen 2 ⁡ x d x = x 3 3 - 2 x c o s   x + 2 sen ⁡ x + 1 2 x - sen ⁡ 2 x 4 + C

Resposta

∫ x + sen ⁡ x 2 d x = x 3 3 - 2 x c o s   x + 2 sen ⁡ x + 1 2 x - sen ⁡ 2 x 4 + C

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