Enunciado

Calcule a integral.

int theta tg^2 theta d theta

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: a expressão já está simplificada, então vamos ver se dá para usar Substituição Simples. Infelizmente não tem nenhuma parte dentro da integral que seja derivada dela, então vamos tentar Integração por Partes:

int f (x) g^' (x) d x = f (x) g (x) - int g (x) f^' (x) d x

Vamos fazer então f (theta) = theta e g^' (theta) = tg^2 theta d theta = sec^2 theta - 1 :

f^' (theta) = d theta e g (theta) = tg theta - theta

Vamos substituir agora:

int theta tg^2 theta d theta = theta (tg theta - theta) - int tg theta - theta d theta

Pronto, agora temos uma integral simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Vamos calcular a integral:

int tg theta - theta d theta = int tg theta d theta + int - theta d theta

Agora é fácil achar a primitiva da função da primeira, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int tg x d x = ln |sec x| + C

Então ficamos com:

int tg theta d theta = ln |sec theta| + C

Passo 3

Na segunda usamos duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Então ficamos com:

int - theta d theta = - int theta d theta = - (theta^2)/(2) + C

Vamos juntar tudo agora:

int tg theta - theta d theta = int tg theta d theta + int - theta d theta = ln |sec theta| - (theta^2)/(2) + C

Agora vamos voltar a expressão original:

int theta tg^2 theta d theta = theta (tg theta - theta) - int tg theta - theta d theta = theta (tg theta - theta) - ln |sec theta| + (theta^2)/(2) + C

Resposta

int theta tg^2 theta d theta = theta (tg theta - theta) - ln |sec theta| + (theta^2)/(2) + C

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