Calcule a integral ∫ e 2 x . cos ⁡ 3 x   d x usando integração por partes

Passo 1

O enunciado pede que para resolvermos essa integral utilizemos a integração por partes, para isso é preciso lembrar da fórmula:

∫ u   d v = u . v -   ∫ v   d u

Passo 2

Escolhemos o valor de “u” e de “dv”, sendo que “u” é o valor que será derivado e o de “dv” será integrado.

u   =   c o s   3 x    

Pois é o valor mais simples de derivar.

d u   =   ( cos ⁡ 3 x ) ’ .   d x  

d u   =   -   ( s e n   3 x ) . 3   d x    

d v   =   e 2 x   d x

v = ∫ e 2 x   d x

v   =   1 2   e 2 x  

Observe que para achar o valor de “v” usamos a fórmula: ∫ e a x   d x =   1 a .   e a x

Passo 3

Substituir os valores encontrados na fórmula da integração por partes.

∫ u   d v = u . v -   ∫ v   d u

∫ e 2 x . cos ⁡ 3 x   d x         = cos ⁡ 3 x . 1 2 .   e 2 x -   ∫ 1 2   e 2 x . - s e n   3 x . 3   d x

= 1 2 . cos ⁡ 3 x .   e 2 x +   1 2   . 3 . ∫ e 2 x . s e n   3 x   d x

= e 2 x 2 . cos ⁡ 3 x +   3 2   . ∫ e 2 x . s e n   3 x   d x

Para poder resolver ∫ e 2 x . s e n   3 x   d x utilizamos novamente o método da integração por partes:

w   =   s e n   3 x      

d w   =   ( s e n   3 x ) ’

d w   =   c o s   3 x . 3   d x    

d z   =   e 2 x   . d x

d x     z = ∫ e 2 x     d x

z   =   1 2   e 2 x

∫ w   d z = w . z -   ∫ z   d w

∫ e 2 x . s e n   3 x   d x   = s e n   3 x   .   1 2 .   e 2 x -   ∫ 1 2 .   e 2 x   . c o s   3 x . 3   d x

= e 2 x 2 . s e n   3 x     - 3 2   ∫   e 2 x   . c o s   3 x   d x

Iremos substituir desse modo para facilitar os cálculos:

∫ e 2 x . cos ⁡ 3 x   d x         = e 2 x 2 . cos ⁡ 3 x +   3 2   . ∫ e 2 x . s e n   3 x   d x

∫ e 2 x . cos ⁡ 3 x   d x           = e 2 x 2 . cos ⁡ 3 x +   3 2   . e 2 x 2 . s e n   3 x     - 3 2   ∫   e 2 x   . c o s   3 x   d x

∫ e 2 x . cos ⁡ 3 x   d x = e 2 x 2 . cos ⁡ 3 x +   3 e 2 x 4 . s e n   3 x   -   9 4   ∫   e 2 x   . c o s   3 x   d x

∫ e 2 x . cos ⁡ 3 x   d x + 9 4   ∫   e 2 x   . c o s   3 x   d x = e 2 x 2 . cos ⁡ 3 x +   3 e 2 x 4 . s e n   3 x  

13 4 . ∫ e 2 x . cos ⁡ 3 x   d x = e 2 x 4 ( 2 cos ⁡ 3 x + 3   s e n   3 x   )

∫ e - y   . cos ⁡ y   d y = e 2 x . ( 2 cos ⁡ 3 x + 3   s e n   3 x   ) 13 + c

OBS: acrescentamos ao final o C (constante de integração).

Resposta

∫ e - y   . cos ⁡ y   d y = e 2 x . ( 2 cos ⁡ 3 x + 3   s e n   3 x   ) 13 + c

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