Enunciado

Se f (1) = 10 e para f ' ( x ) >= 2 para 1 <= x <= 4 quão pequeno f ( 4 ) pode ser?

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade. Queremos saber qual pequeno f ( 4 ) pode ser dado as informações que temos sobre a função.

O Teorema do Valor Intermediário diz que:

Se f ( x ) é continua no intervalo fechado [ a , b ] e é diferençável no intervalo aberto ( a , b ) , então

f^' (c) = (f (b) - f ( a ))/(b - a)

Pelo Teorema do Valor Médio, temos que f (4) - f (1) = f ' ( c ) ( 4 - 1 ) para algum número c pertencente ao intervalo ( 1,4 ) .

Passo 2

Para cada c pertencente a ( 1,4 ) , temos f^' (c) >= 2 . Colocando f^' (c) >= 2 na equação acima e substituindo f (1) = 10 temos:

f (4) - f (1) = f^' (c) (4 - 1)

f (4) = f (1) + f^' (c) (4 - 1)

f (4) = 10 + 3 f^' (c)

Usando f^' (x) >= 2 , temos agora:

f ( 4 ) >= 10 + 3 * 2 = 16

Logo, o menor valor possível para f ( 4 ) é 16.

Resposta

O menor valor possível para f ( 4 ) é 16.

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