Calcule a integral

∫ 1 x - 2 x 2 + 4 d x

Passo 1

Bom galera, nesse exercício iremos utilizar as técnicas de integração estudadas e as estratégias abordadas nesse capítulo para resolver a integral. Dessa forma, queremos encontrar o resultado para a integral da maneira mais prática de acordo com as técnicas de integração deste capítulo.

Passo 2

Utilizando a técnica de expansão por frações parciais, podemos reescrever o integrando da seguinte maneira

1 x - 2 x 2 + 4 = A x - 2 + B x + C x 2 + 4

Dessa forma, temos

0 = A + B = C - 2 B

1 = 4 A - 2 C

Resolvendo o sistema de 3 equações e 3 incógnitas, temos

A = 1 8   ,   B = - 1 8   ,   C = - 1 4

Passo 3

Podemos reescrever a integral da seguinte maneira

∫ 1 x - 2 x 2 + 4 d x = ∫ 1 / 8 x - 2 + - 1 8 x - 1 4 x 2 + 4 d x

Resolvendo a integral, temos

∫ 1 x - 2 x 2 + 4 d x = 1 8 ln ⁡ x - 2 - 1 16 ln ⁡ x 2 + 4 - 1 8 tan - 1 ⁡ ( x / 2 ) + C

Resposta

∫ 1 x - 2 x 2 + 4 d x = 1 8 ln ⁡ x - 2 - 1 16 ln ⁡ x 2 + 4 - 1 8 tan - 1 ⁡ ( x / 2 ) + C

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