Enunciado

Faça uma substituição para expressar o integrando como uma função racional e então calcule a integral.

∫ 1 3 1 x x 2 + x   d x

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

A questão pede para fazermos uma substituição para transformar a integral em uma integral de funções racionais e resolvê-la.

Pra isso, vamos usar a substituição:

u = x

que é uma função racional, e nos fornece:

x = u 2

De modo que, derivando, sua diferencial será:

d x = 2 u   d u

Então, vamos substituir isso na integral, juntamente com os novos limites de integração, e calcular.

Vamos lá!

Passo 2

Vimos no passo 1 que u = x , de modo que x = u 2 ⇒ d x = 2 u   d u . Além disso, x 2 = u 4 . Portanto, nossa integral vai ficar:

∫ 1 3 1 x x 2 + x   d x = 2 ∫ 1 3 1 u u 4 + u 2   u   d u

Repare que, usando u = x , para x = 1 , teremos u = 1 = 1 . E para x = 1 3 , teremos u = 1 3 = 1 3 . Por isso, nossos limites de integração são modificados.

Agora simplificando o integrando, temos:

= 2 ∫ 1 3 1 1 u 2 + 1 d u

Passo 3

Resolvendo a integral, obtemos:

2   arctan ⁡ u 3 3 1

Aplicando os limites de integração:

= 2   arctan ⁡ 1 - arctan ⁡ 3 3

Assim, como arctan ⁡ 1 = π 4 e arctan ⁡ 3 3 = π 6 , temos:

= 2 π 4 - π 6

Tirando o M.M.C:

= 2   3 π - 2 π 12

E simplificando:

= π 6

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

π 6

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