Enunciado

Faça uma substituição para expressar o integrando como uma função racional e então calcule a integral.

∫ 1 + x x d x

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

A questão pede para fazermos uma substituição para transformar a integral em uma integral de funções racionais e resolvê-la.

Pra isso, vamos usar a substituição:

u = x

que é uma função racional, e nos fornece:

x = u 2

De modo que, derivando, sua diferencial será:

d x = 2 u   d u

Então, vamos substituir isso na integral e calcular. Vamos lá!

Passo 2

Vimos no passo 1 que u = x , de modo que x = u 2 e d x = 2 u   d u . Então, substituindo na nossa integral, vamos ter:

∫ 1 + x x d x = ∫ 1 + u u 2 2 u   d u

Simplificando o integrando:

= 2 ∫ 1 + u u d u

Ainda não tá legal de resolver, então, agora vamos fazer t = 1 + u . Dessa forma, elevando ao quadrado teremos t 2 = u + 1 e derivando, temos ⇒ d u = 2 t   d t . Portanto, substituindo na integral:

= 2 ∫ t t 2 - 1 2 t d t

Multiplicando as constantes e colocando do lado de fora da integral:

= 4 ∫ t 2 t 2 - 1 d t

Passo 3

Como o grau do numerador é igual ao grau do denominador, podemos fazer uma divisão de polinômios, para simplificar mais nosso integrando. Assim:

t 2 = t 2 - 1 + 1

E dividindo:

t 2 t 2 - 1 = t 2 - 1 + 1 t 2 - 1 = 1 + 1 t 2 - 1

Passo 4

Agora pegando esse resultado do passo anterior e substituindo na nossa integral, temos:

4 ∫ t 2 t 2 - 1 d t = 4 ∫ 1 + 1 t 2 - 1 d t

Como a integral da soma é igual a soma das integrais, podemos fazer:

= 4 ∫ 1   d t   + ∫ 1 t 2 - 1 d t

E integrando, teremos:

4   t - 1 2 ln ⁡ t + 1 + 1 2 ln ⁡ t - 1 + C

= 4 t   - 2 ln ⁡ t + 1 + 2 ln ⁡ t - 1 + C

Onde C é uma constante de integração.

Passo 5

Agora só falta voltarmos para a variável original x . Mas antes, voltando a variável u , usando t = 1 + u no resultado do passo anterior, temos:

4 1 + u - 2 ln ⁡ 1 + u + 1 + 2 ln ⁡ 1 + u - 1   + C

Por fim, voltando a variável x , usando u = x , temos o resultado final da nossa integral:

∫ 1 + x x d x = 4 1 + x - 2 ln ⁡ 1 + x + 1 + 2 ln ⁡ 1 + x - 1   + C

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

4 1 + x - 2 ln ⁡ 1 + x + 1 + 2 ln ⁡ 1 + x - 1   + C

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