Calcule a integral:

∫ 0 1 r 3 4 + r 2 d r

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema nos temos que calcular a integral

∫ 0 1 r 3 4 + r 2 d r

Para resolver essa integral definida, vamos resolver a indefinida primeiro. Devemos observar que:

∫ r 3 4 + r 2 d r = ∫ r ⋅ r 2 4 + r 2 d r

Para calcular essa integral podemos aplicar o método da substituição

∫ f r d r → ∫ g u d u

Agora podemos fazer a substituição u = 4 + r 2     →         d u = 2 r d r   →         r d r = d u 2 .

Sendo assim,

∫ r ⋅ r 2 4 + r 2 d r = ∫ u - 4 u d u 2

1 2 ∫ u - 4 u d u = 1 2 ∫ u u 1 2 - 4 u 1 2 d u

Simplificando

1 2 ∫ u 1 - 1 2 - 4 u - 1 2 d u = 1 2 ∫ u 1 2 - 4 u - 1 2 d u

Bora começar!

Passo 2

Para resolver a indefinida acima, vamos usar ∫ u n d u = u n + 1 n + 1 + C           n ≠ - 1 . Sendo assim:

1 2 ∫ u 1 2 - 4 u - 1 2 d u = 1 2 u 1 2 + 1 1 2 + 1 - 4 u - 1 2 + 1 - 1 2 + 1 + C

Voltando na variável r , ficamos com:

∫ r 3 4 + r 2 d r = 1 2 2 u 3 2 3 - 8 u 1 2 + C = 1 2 2 4 + r 2 3 2 3 - 8 4 + r 2 1 2 + C

Simplificando...

∫ r 3 4 + r 2 d r = 4 + r 2 3 2 3 - 4 4 + r 2 1 2 + C = 4 + r 2 3 2 - 12 4 + r 2 1 2 3 + C

∫ r 3 4 + r 2 d r = ( 4 + r 2 ) 4 + r 2 1 2 - 12 4 + r 2 1 2 3 + C = ( r 2 - 8 ) 4 + r 2 1 2 3

Agora podemos resolver a definida.

Veja só!

Passo 3

Sabemos da integral definida que:

∫ a b f x d x = F b - F a

Em que F é uma primitiva de f .

Dessa forma, aplicando os limites de integração...

∫ 0 1 r 3 4 + r 2 d r = r 2 - 8 4 + r 2 1 2 3 0 1 = 1 - 8 4 + 1 1 2 3 - 0 - 8 4 + 0 1 2 3

Simplificando...

∫ 0 1 r 3 4 + r 2 d r = - 7 5 3 - - 8 ⋅ 2 3 = - 7 5 + 16 3

∫ 0 1 r 3 4 + r 2 d r = - 7 5 + 16 3

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

∫ 0 1 r 3 4 + r 2 d r = 16 - 7 5 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados