Calcule a integral:

∫ sin ⁡ x sin ⁡ x + cos ⁡ x   d x

Passo 1

Galera, nesse exercício iremos utilizar as técnicas de integração e estratégias para resolver a integral. Então vamos resolver da seguinte maneira . Então primeiro reescrever o integrando:

sin ⁡ x sin ⁡ x + cos ⁡ x =   sin ⁡ x     ( sin ⁡ x   ) - cos ⁡ x sin 2 ⁡ x - cos 2 ⁡ x

Passo 2

Agora, vamos integrar:

∫ sin ⁡ x     ( sin ⁡ x   ) - cos ⁡ x sin 2 ⁡ x - cos 2 ⁡ x d x

Lembre aqui o seguinte: cos 2 ⁡ x - sin 2 ⁡ x = cos ⁡ 2 x . Sabendo disso, vamos reescrever a integra e colando - 1 para frente da integral:

- ∫ sin ⁡ x   ( - cos ⁡ x + sin ⁡ x   ) cos ⁡ 2 x   d x

= -   ∫ - sin ⁡ x cos ⁡ x   cos ⁡ 2 x + sin 2 ⁡ x cos ⁡ 2 x     d x

= -   - ∫ sin ⁡ x cos ⁡ x   cos ⁡ 2 x   d x + ∫ sin 2 ⁡ x cos ⁡ 2 x     d x

= - 1 4 ln ⁡ cos ⁡ 2 x   - 1 4 ln ⁡ tan ⁡ 2 x + sec ⁡ 2 x   + 1 2 x + C

Resposta

= - 1 4 ln ⁡ cos ⁡ 2 x   - 1 4 ln ⁡ tan ⁡ 2 x + sec ⁡ 2 x   + 1 2 x + C

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