Calcule a integral:

∫ r e r / 2 d r

Passo 1

Nesse problema temos que calcular a seguinte integral:

∫ r e r / 2 d r

Analisando essa integral indefinida nós vemos um produto de funções de tipos diferentes (polinômio e exponencial) e isso indica o uso da integração por partes, ok? O método da substituição não funciona aqui.

Vamos usar então a fórmula da integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Precisamos chamar uma parte da integral de u e outra de d v . Chamamos de d v a parte mais fácil de integrar e u a mais fácil de derivar! No nosso caso, u será a função polinomial. Teremos então:

d v = e r / 2 d r v =   ? u = r d u =   ?

Aqui nós podemos usar o macete LIATE para escolher u na seguinte ordem: Logarítmica, Inversa Trigonométrica, Álgebrica ou (polinomial), Trigonométrica e Exponencial.

Passo 2

Agora nós precisamos achar v , integrando d v e achar d u derivando u . Ficando com:

d v = e r / 2 d r v = ∫ e r 2 d r = 2 e r 2 + C u = r d u =   1 d r

Passo 3

Agora substituímos tudo na fórmula da integração por partes. Obs: não precisamos colocar a constante C de v na fórmula.

∫ r ⏟ u e r / 2 d r ⏟ d v = r ⏟ u 2 e r / 2 ⏟ v - ∫ 2 e r / 2 ⏟ v 1 d r ⏟ d u

∫ r e r / 2 d r = 2 r e r / 2 - 2 ∫ e r 2 d r = 2 r e r 2 - 4 e r 2 + C

∫ r e r / 2 d r = 2 r e r 2 - 4 e r 2 + C = 2 e r 2 r - 2 + C

Não pode esquecer da constante, hein.

Resposta

∫ r e r / 2 d r = 2 e r 2 r - 2 + C

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