Calcule a integral.

∫ ln ⁡ x 2 d x

Passo 1

Faaaala, galera do Responde Aí!!

Pra fazermos esse exercício vamos ter que resolver através do método da integração por partes. Nesse método, vamos utilizar as duas funções do integrando e transformá-las em outro fator mais fácil de calcular.

Então, pegando uma integral da forma:

∫ f x g x d x

Iremos fazer:

u = f x e d v = g x d x

E, a partir disso, vamos encontrar a derivada da função u e determinar a função v para substituir na fórmula da integral por partes dada por:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Passo 2

Assim, para esse exercício temos:

∫ ln ⁡ x 2 d x

E supondo:

u = ln ⁡ x e d v = ln ⁡ x d x

Conseguimos encontrar:

d u = 1 x d x

E:

v = ∫ ln ⁡ x d x

Nessa integral, como não sabemos o seu resultado de uma forma direta, vamos aplicar o método da integração por partes.

Então, usando:

u ' = ln ⁡ x e d v ' = d x

Teremos:

d u ' = 1 x d x

E:

v ' = x

Ou seja:

v = x ln ⁡ x - ∫ x 1 x d x = x ln ⁡ x - ∫ d x

Logo:

v = x ln ⁡ x - x

Passo 3

Então, substituindo na fórmula da integração por partes:

∫ ln ⁡ x 2 d x = ln ⁡ x x ln ⁡ x - x - ∫ x ln ⁡ x - x 1 x d x

Que pode ser reescrita como:

∫ ln ⁡ x 2 d x = x ln ⁡ x 2 - x ln ⁡ x - ∫ ln ⁡ x - 1 d x

Ou ainda:

∫ ln ⁡ x 2 d x = x ln ⁡ x 2 - x ln ⁡ x - ∫ ln ⁡ x d x + ∫ d x

Passo 4

Como as integrais do lado direito da equação possuem um resultado já definido (o resultado da integral da função logarítmica nós calculamos no Passo 2 e é o valor de v da integração por partes), podemos calcular de forma direta, tal que:

∫ ln ⁡ x 2 d x = x ln ⁡ x 2 - x ln ⁡ x - x ln ⁡ x - x + x + C

Portanto, o resultado da integral é:

∫ ln ⁡ x 2 d x = x ln ⁡ x 2 - 2 x ln ⁡ x + 2 x + C

Resposta

∫ ln ⁡ x 2 d x = x ln ⁡ x 2 - 2 x ln ⁡ x + 2 x + C

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