Enunciado

Calcule a integral.

int (ln x)^2 d x

Passo 1

Faaaala, galera do Responde Aí!!

Pra fazermos esse exercício vamos ter que resolver através do método da integração por partes. Nesse método, vamos utilizar as duas funções do integrando e transformá-las em outro fator mais fácil de calcular.

Então, pegando uma integral da forma:

int f (x) g (x) d x

Iremos fazer:

u = f (x) e d v = g (x) d x

E, a partir disso, vamos encontrar a derivada da função u e determinar a função v para substituir na fórmula da integral por partes dada por:

int u d v = u v - int v d u

Passo 2

Assim, para esse exercício temos:

int (ln x)^2 d x

E supondo:

u = ln x e d v = ln x d x

Conseguimos encontrar:

d u = (1)/(x) d x

E:

v = int ln x d x

Nessa integral, como não sabemos o seu resultado de uma forma direta, vamos aplicar o método da integração por partes.

Então, usando:

u^' = ln x e d v^' = d x

Teremos:

d u^' = (1)/(x) d x

E:

v^' = x

Ou seja:

v = x ln x - int x ((1)/(x) d x) = x ln x - int d x

Logo:

v = x ln x - x

Passo 3

Então, substituindo na fórmula da integração por partes:

int (ln x)^2 d x = ln x (x ln x - x) - int (x ln x - x) ((1)/(x) d x)

Que pode ser reescrita como:

int (ln x)^2 d x = x (ln x)^2 - x ln x - int (ln x - 1) d x

Ou ainda:

int (ln x)^2 d x = x (ln x)^2 - x ln x - int ln x d x + int d x

Passo 4

Como as integrais do lado direito da equação possuem um resultado já definido (o resultado da integral da função logarítmica nós calculamos no Passo 2 e é o valor de v da integração por partes), podemos calcular de forma direta, tal que:

int (ln x)^2 d x = x (ln x)^2 - x ln x - (x ln x - x) + x + C

Portanto, o resultado da integral é:

int (ln x)^2 d x = x (ln x)^2 - 2 x ln x + 2 x + C

Resposta

int (ln x)^2 d x = x (ln x)^2 - 2 x ln x + 2 x + C

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