Calcule a integral.

∫ x 2 e - 2 x d x

Passo 1

Faaaala, galera do Responde Aí!!

Pra fazermos esse exercício vamos ter que resolver através do método da integração por partes. Nesse método, vamos utilizar as duas funções do integrando e transformá-las em outro fator mais fácil de calcular.

Então, pegando uma integral da forma:

∫ f x g x d x

Iremos fazer:

u = f x e d v = g x d x

E, a partir disso, vamos encontrar a derivada da função u e determinar a função v para substituir na fórmula da integral por partes dada por:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Passo 2

Assim, para esse exercício temos:

∫ x 2 e x d x

E supondo:

u 1 = x 2 e d v 1 = e - 2 x d x

Conseguimos encontrar:

d u 1 = 2 x d x

E:

v 1 = ∫ e - 2 x d x

Que, resolvendo através da substituição com a = - 2 x , tal que d a = - 2 d x , obtemos:

v 1 = ∫ e a - d a 2 = - 1 2 e a

Ou seja:

v 1 = - 1 2 e - 2 x

Passo 3

Então, substituindo na fórmula da integração por partes:

∫ x 2 e - 2 x d x = x 2 - 1 2 e - 2 x - ∫ - 1 2 e - 2 x 2 x d x

Que pode ser reescrita como:

∫ x 2 e - 2 x d x = - 1 2 x 2 e - 2 x + ∫ x e - 2 x d x

Como não é possível calcular diretamente a integral do lado direito da equação, teremos que aplicar o método da integração por partes novamente.

Passo 4

Dessa forma, considerando um segundo caso em que:

u 2 = x e d v 2 = e - 2 x d x

Conseguimos encontrar:

d u 2 = d x

E:

v 2 = v 1 = - 1 2 e - 2 x

Passo 5

Substituindo a segunda integral para a forma da integração por partes:

∫ x 2 e - 2 x d x = - 1 2 x 2 e - 2 x + x - 1 2 e - 2 x - ∫ - 1 2 e - 2 x d x

Teremos:

∫ x 2 e - 2 x d x = - 1 2 x 2 e - 2 x + - 1 2 x e - 2 x + 1 2 - 1 2 e - 2 x + C

Ou seja:

∫ x 2 e - 2 x d x = - 1 2 x 2 e - 2 x - 1 2 x e - 2 x - 1 4 e - 2 x + C

Resposta

∫ x 2 e - 2 x d x = - 1 2 x 2 e - 2 x - 1 2 x e - 2 x - 1 4 e - 2 x + C

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