Calcule a integral:

∫ tg 3 ⁡ 4 x d x

Passo 1

Precisamos calcular essa integral aí. Temos duas ferramentas: as fórmulas de redução:

∫ t g n x d x = t g n - 1 x n - 1 - ∫ t g n - 2 x d x

∫ sec n ⁡ x d x = sec n - 2 ⁡ x   t g   x n - 1 + n - 2 n - 1 ∫ sec n - 2 ⁡ x d x

E as identidades trigonométricas. Vamos começar!

Passo 2

Primeiro a gente precisa deixar esse argumento da função tangente sendo uma variável sozinha, para usar nossa técnicas. Vamos fazer isso usando a substituição:

u = 4 x ∴ d u d x = 4 ∴ d u 4 = d x

Nossa integral fica:

1 4 ∫ t g 3 u   d u

Passo 3

Podemos reduzir essa outra integral que apareceu, pela fórmulinha de redução:

∫ t g n x d x = t g n - 1 x n - 1 - ∫ t g n - 2 x d x

1 4 ∫ t g 3 u d u = t g 2 u 8 - 1 4 ∫ t g   u   d u

Passo 4

Agora só lembrar que:

∫ t g   u   d x = ln ⁡ sec ⁡ u = ln ⁡ 1 cos ⁡ u = ln ⁡ | cos - 1 ⁡ u |  

Mas pela propriedade do log:

= ln ⁡ | cos - 1 ⁡ u | = - ln ⁡ | cos ⁡ u |  

Substituindo isso na nossa continha:

1 4 ∫ t g 3 u d u = t g 2 u 8 + 1 4 ln ⁡ cos ⁡ u

Mas lembra que u = 4 x :

∫ t g 3 4 x d x = 1 4 ∫ t g 3 u d u = t g 2 4 x 8 + 1 4 ln ⁡ | cos ⁡ 4 x |

E não podemos esquecer da constante de integração:

∫ t g 3 4 x d x = t g 2 4 x 8 + 1 4 ln ⁡ | cos ⁡ 4 x | + C

Resposta

∫ t g 3 4 x d x = t g 2 4 x 8 + 1 4 ln ⁡ | cos ⁡ 4 x | + C

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