Calcule a integral:

∫ sec 5 ⁡ x d x

Passo 1

Precisamos calcular essa integral aí. Temos duas ferramentas: as fórmulas de redução:

∫ t g n x d x = t g n - 1 x n - 1 - ∫ t g n - 2 x d x

∫ sec n ⁡ x d x = sec n - 2 ⁡ x   t g   x n - 1 + n - 2 n - 1 ∫ sec n - 2 ⁡ x d x

E as identidades trigonométricas. Vamos começar!

Passo 2

Podemos usar a fórmula de redução para reduzir o expoente da secante:

∫ sec n ⁡ x d x = sec n - 2 ⁡ x   t g   x n - 1 + n - 2 n - 1 ∫ sec n - 2 ⁡ x d x

∫ sec 5 ⁡ x d x = sec 3 ⁡ x   t g   x 4 + 3 4   ∫ sec 3 ⁡ x d x

Passo 3

Podemos reduzir essa outra integral que apareceu, pela fórmulinha de redução:

∫ sec 5 ⁡ x d x = sec 3 ⁡ x   t g   x 4 + 3 4   sec ⁡ x   t g   x 2 + 1 2 ∫ sec ⁡ x d x

Passo 4

Agora só lembrar que:

∫ sec ⁡ x   d x = ln ⁡ sec ⁡ x + t g   x

Substituindo isso na nossa continha:

∫ sec 5 ⁡ x d x = sec 3 ⁡ x   t g   x 4 + 3   sec ⁡ x   t g   x 8 + 3 8 ln ⁡ sec ⁡ x + t g   x

Só não podemos esquecer da constante de integração:

∫ sec 5 ⁡ x d x = sec 3 ⁡ x   t g   x 4 + 3  sec ⁡ x   t g   x 8 + 3 8 ln ⁡ sec ⁡ x + t g   x + C

Resposta

∫ sec 5 ⁡ x d x = sec 3 ⁡ x   t g   x 4 + 3  sec ⁡ x   t g   x 8 + 3 8 ln ⁡ sec ⁡ x + t g   x + C

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