Calcule a integral definida

∫ - 4 - 2 d t - t 2 - 6 t - 5

Passo 1

Para fazer a integral definida primeiro temos que achar a indefinida, e fazer o teorema da variação total depois

∫ d t - t 2 - 6 t - 5

Temos um polinômio doidão ali no denominador, a boa aqui é tentar achar algo da forma

1 - a 2

Ou

a 2 - 1

Como o termo t 2 está com o - 1 , vamos procurar a primeira forma: 1 - a 2

Mas como vamos fazer isso? COmpeltando quadrados, claro quem nunca pensou nisso? Hahahah

Vou te mostrar com bastante calma como faz isso:

- t 2 - 6 t - 5

Primeiro colocamos o - 1 em evidência

- 5 - t 2 + 6 t

Vamos olhar so p t 2 + 6 t , ele deve ficar parecido com a 2 + 2 a b + b 2 .

a 2 + 2 a b + b 2 = a + b 2

Comaprando, teremos

a = t

b = 3

Agora, temos que somar e subtrair - b 2 , porque o trinômio está sendo todo multiplicado por - 1 , que achamos da equação original

- 5 - t 2 + 6 t = 9 - 5 - t 2 + 6 t + 9 = 4 - t + 3 2

A nossa integral fica:

∫ d t - t 2 - 6 t - 5 = ∫ d x 4 - t + 3 2

Passo 2

∫ d x 4 - t + 3 2

Quando temos uma raiz quadrada no denominador, precisamos dar uma manipulada para que apareça algo dessas formas:

x 2 - 1

1 - x 2

Para que possamos usar as derivadas das funções trigonométricas inversas

Primeiro, vamos colocar o 4 em evidência dentro da raiz:

4 - t + 3 2 = 4 1 - t + 3 2 4

Temos algo parecido, o que vamos precisar fazer é a substituição

t + 3 2 4 = y 2 → y = t + 3 2

Além disso:

d y = 1 2 d t → d t = 2 d y

Substituindo na integral:

∫ d x 4 - t + 3 2 = ∫ d x 4 1 - t + 3 2 4 = ∫ 2 d y 4 1 - y 2 = ∫ 2 d y 2 1 - y 2 = ∫ d y 1 - y 2

Essa é integra é sen - 1 ⁡ y , então vamos ter:

∫ d y 1 - y 2 = sen - 1 ⁡ y + C

Voltando para x

sen - 1 ⁡ y + C = sen - 1 ⁡ t + 3 2 + C

Passo 3

Agora que achamos a integral indefinida, vamos para a definida:

∫ - 4 - 2 d t - t 2 - 6 t - 5 = sen - 1 ⁡ t + 3 2 - 4 - 2 = sen - 1 ⁡ - 2 + 3 2 - sen - 1 ⁡ - 4 + 3 2

= sen - 1 ⁡ 1 2 - sen - 1 ⁡ - 1 2

O ângulo que tem seno 1 2 é π 6

O ângulo que tem seno - 1 2 é - π 6

sen - 1 ⁡ 1 2 - sen - 1 ⁡ - 1 2 = π 6 - - π 6 = π 6 + π 6 = π 3

Resposta

π 3

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