Enunciado

Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular a integral

∫ 0 π / 12 6 tg ⁡ 3 x   d x

Passo 1

Vamos começar nossa questão por relembrar o Teorema 7 – Substituição em integrais definidas. Se g ' for contínua no intervalo a , b e f fr contínua na imagem de g x = u , então

∫ a b f g x ⋅ g ' x   d x = ∫ g ( a ) g ( b ) f ( u )   d u

A ideia por trás deste teorema é encontrarmos uma função u = g ( x ) para que transformemos a nossa integral difícil em algo bem fácil! Inicialmente parece ser difícil visualizar uma boa mudança, mas com o decorrer das questões você verá que isto é bem simples!

Vamos optar por resolver a integral indefinida primeiramente. Após obtermos a primitiva da função, basta substituir os limites de integração conforme o teorema fundamental do cálculo.

Passo 2

Observe que o valor dentro da função tangente é 3 x . Vamos começar por transformar essa razão em uma única variável t . Portanto, temos 3 x = t . Consequentemente, d x = d t / 3 . Realizando esta mudança, vamos obter a seguinte integral indefinida:

∫ 6 tg ⁡ 3 x   d x = ∫ 2 tg ⁡ t   d t  

Passo 3

Agora, vamos reescrever a nossa função t g ( t ) como função de senos e cossenos. Temos então:

∫ 2 tg ⁡ t   d t   = ∫ 2 s e n ( t ) c o s ⁡ ( t )   d t

Se fizermos u = c o s ( t ) , temos que d u = - sen ⁡ ( x )   d x . Se analisarmos apenas a integral indefinida, temos:

∫ 2 sen ⁡ t cos ⁡ ( t )   d t   = ∫ - 2 u   d u  

Logo, obtemos uma função facilmente integrável.

Passo 4

Agora que obtemos uma f ( u ) facilmente integrável, podemos calcular a nossa integral. Portanto, temos:

∫ - 2 u   d u   = - 2 ln ⁡ u + k

Muita calma nessa hora! Não podemos esquecer da constante k , já que a integral que foi resolvida é uma integral indefinida. Vamos voltar para a nossa variável t . Temos então:

- 2 ln ⁡ u + k = - 2 ln ⁡ cos ⁡ t + k

E voltando para a variável x , temos:

- 2 ln ⁡ cos ⁡ t + k = - 2 ln ⁡ cos ⁡ 3 x + k

Passo 5

Após obtemos o valor da integral indefinida, para fazermos os cálculos da integral definida, é só esquecermos a existência da constante k ! Portanto, temos:

∫ 0 π / 12 6 tg ⁡ 3 x   d x = - 2 ln ⁡ cos ⁡ 3 x 0 π / 12

∫ 0 π / 12 6 tg ⁡ 3 x   d x = - 2 ln ⁡ cos ⁡ π 4 + 2 ln ⁡ cos ⁡ 0

∫ 0 π / 12 6 tg ⁡ 3 x   d x = ln ⁡ 2 2 - 2 + 2 ln ⁡ 1

∫ 0 π / 12 6 tg ⁡ 3 x   d x = ln ⁡ 2 2

Logo,

∫ 0 π / 12 6 tg ⁡ 3 x   d x = ln ⁡ 2

Resposta

∫ 0 π / 12 6 tg ⁡ 3 x   d x = ln ⁡ 2

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