Calcule a integral.

∫ x 2 5 + x 2 d x

Passo 1

Bom galera, para resolvermos essa integral, a gente vai usar a substituição trigonométrica. Para a nossa integral:

∫ x 2 5 + x 2 d x

Vamos chamar:

x = 5 tan ⁡ θ

d x = 5 sec 2 ⁡ θ d θ

Passo 2

Belezinha, substituindo, ficamos com:

∫ 5 tan 2 ⁡ θ ⋅ 5 sec 2 ⁡ θ 5 + 5 tan 2 ⁡ θ d θ

= ∫ 5 tan 2 ⁡ θ ⋅ 5 sec 2 ⁡ θ 5 ⋅ sec ⁡ θ d θ

= 5 ∫ tan 2 ⁡ θ ⋅ sec ⁡ θ d θ

Usamos a identidade trigonométrica:

5 ∫ sec 2 ⁡ θ - 1 ⋅ sec ⁡ θ   d θ

= 5 ∫ sec 3 ⁡ θ - sec ⁡ θ d θ

Passo 3

Por fim, a gente resolve a integral e volta pra x :

5 ∫ sec 3 ⁡ θ - sec ⁡ θ d θ

= 5 sec 2 ⁡ θ ⋅ sin ⁡ θ 2 + 1 2 ln ⁡ | sec ⁡ θ + tan ⁡ θ | - ln ⁡ | sec ⁡ θ + tan ⁡ θ | + C

= 5 sec 2 ⁡ θ ⋅ sin ⁡ θ 2 - 1 2 ln ⁡ | sec ⁡ θ + tan ⁡ θ | + C

= 5 2 1 cos 2 ⁡ x sin ⁡ θ - 1 2 ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ + C

= 5 2 tan ⁡ θ ⋅ sec ⁡ θ - 1 2 ln ⁡ | sec ⁡ θ + tan ⁡ θ | + C

Voltando para x :

5 2 x 2 5 + 1 ⋅ x 5 - ln ⁡ x 5 + x 2 5 + 1 + C

= 5 2 x x 2 + 5 5 - ln ⁡ x 5 + x 2 5 + 1 + C

Resposta

5 2 x x 2 + 5 5 - ln ⁡ x 5 + x 2 5 + 1 + C

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