Enunciado

Indique uma mudança de variável que elimine a raiz do integrando

∫ 3 - 4 x 2   d x

Passo 1

Galerinha, aqui a gente não precisa resolver a integral, a gente só precisar eliminar a raiz fazendo uma mudança de variável.

Como queremos eliminar a raiz do termo integrando, podemos lembrar lá da seguinte relação trigonométrica:

s e n 2 t + cos 2 ⁡ t = 1

Como temos o termo 3 sozinho na raiz, vamos multiplicar os dois lados por 3 :

3 s e n 2 t + 3 cos 2 ⁡ t = 3

Passando o 3 cos 2 ⁡ t para o outro lado:

3 s e n 2 t = 3 - 3 cos 2 ⁡ t

Repare que dentro da raiz temos 3 - 4 x 2 , então podemos fazer seguinte substituição:

4 x 2 = 3 cos 2 ⁡ t

Assim,

x = 3 2 cos ⁡ t

Derivando,

d x = - 3 2 s e n t d t

Passo 2

Voltando para integral:

I = ∫ 3 - 3 cos 2 ⁡ t   - 3 2 s e n t d t

Assim,

I = ∫ - 3 2 s e n t 3 s e n t   d t

Portanto,

I = ∫ - 3 2 s e n t ⋅ 3 s e n t   d t =   ∫ - 3 2 s e n 2 t d t

Opa, viu que eliminamos a raiz?! Então fechou.

Resposta

x = 3 2 cos ⁡ t

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