Calcule a integral.

∫ 1 4 + x 2 2 d x

Passo 1

Bom galera, para resolvermos essa integral, a gente vai usar a substituição trigonométrica. Para a nossa integral:

∫ 1 4 + x 2 2 d x

Vamos chamar:

x = 2 tan ⁡ θ

d x = 2 sec 2 ⁡ θ d θ

Passo 2

Belezinha, substituindo, ficamos com:

∫ 2 sec 2 ⁡ θ 4 + 2 tan 2 ⁡ θ 2 2 d θ

= ∫ 2 sec 2 ⁡ θ 4 + 4 tan 2 ⁡ θ 2 d θ = ∫ 2 sec 2 ⁡ θ 16 1 + tan 2 ⁡ θ 2 d θ

= 1 8 ∫ sec 2 ⁡ θ 1 + tan 2 ⁡ θ 2 d θ

= 1 8 ∫ sec 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ 2 d θ = 1 8 ∫ sec 2 ⁡ θ sec 4 ⁡ θ d θ

= 1 8 ∫ 1 sec 2 ⁡ θ d θ = 1 8 ∫ cos 2 ⁡ θ d θ

Usando uma das identidades trigonométricas, ficamos com:

1 8 ∫ 1 cos ⁡ 2 θ 2 d θ

Passo 3

Por fim, a gente resolve a integral e volta pra x :

1 8 ∫ 1 cos ⁡ 2 θ 2 d θ

= 1 8 ∫ 1 2 + cos ⁡ 2 θ 2 d θ

= 1 8 1 2 θ + sin ⁡ 2 θ 4 + C

1 8 1 2 θ + sin ⁡ θ ⋅ cos ⁡ θ 2 + C

= 1 16 θ + sin ⁡ θ ⋅ cos ⁡ θ + C

Voltando para x :

1 16 arctan ⁡ x 2 + x 4 + x 2 2 4 + x 2 + C

= 1 16 arctan ⁡ x 2 + 2 x 4 + x 2 + C

= 1 16 arctan ⁡ x 2 + x 8 4 + x 2 + C

Resposta

1 16 arctan ⁡ x 2 + x 8 4 + x 2 + C

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