1-26 Calcule a integral.

13. ∫ d x x 2 - 9

Passo 1

Eitaaa, mais uma integral que envolve radicais em, o que é a cara da substituição trigonométrica.A forma que geralmente simplificamos é usando a seguinte identidade: s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1  

Mas temos que modificá-la para que se pareça com x 2 - a 2 , então vamos dividir tudo por cos 2 ⁡ ( x ) , obtendo:

tan 2 ⁡ ( x ) + 1 = sec 2 ⁡ x ↔ t a n 2 x = sec 2 ⁡ x - 1

Pois essa identidade agora se parece com x 2 - a 2 e como nossa raiz é quadrada, a identidade é quase a que precisamos continuar. Para que funcione perfeitamente deveriamos ter:

3 tan ⁡ θ 2 = 3 sec ⁡ θ 2 - 3 2

Que agora se parece mais com x 2 - 3 2

Passo 2

Agora vamos fazer a substituição para simplificar a integral:

x = 3 s e c θ ↔ d x = 3 sec ⁡ θ . tan ⁡ θ d θ ,           - π 2 < θ < π 2

Substituindo, temos:

∫ d x x 2 - 9 = ∫ 3 sec ⁡ θ . t a n ⁡ ( θ ) d θ 9 sec 2 ⁡ θ - 9 = ∫ 3 sec ⁡ θ . t a n ⁡ ( θ ) d θ 9 tan 2 ⁡ ( θ ) ⁡ = ∫ sec ⁡ θ d θ

Viu? Muito simples, e como essa integral é uma das que a gente sabe de cabeça, vou apenas relembrar:

∫ sec ⁡ θ d θ = l n tan ⁡ θ + s e c ⁡ ( θ ) + C

Passo 3

Agora tudo que precisamos fazer é voltar a variável x , e para fazer isso vamos aplicar a função inversa de sen( θ )   : x = 3 s e c θ ↔ θ = a r c s e c ( x 3 )

Então:

∫ d x x 2 - 9 = l n tan ⁡ a r c s e c ( x 3 ) + s e c ⁡ ( a r c s e c ( x 3 ) ) + C

Existe uma outra identidade que simplifica a expressão, mas não é uma identidade trivial. Vou deixá-la aqui para o caso de o gabarito estar diferente.

tan ⁡ a r c s e c x 3 = x 2 - 9 3

Então:

∫ d x x 2 - 9 =   l n x 2 - 9 3 + x 3 + C

Resposta

l n 1 3 ( x 2 - 9 + x ) + C

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